名校之门2011届高三数学精品复习之(09)平面向量的概念及运算

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1、2011届高三数学精品复习之平面向量的概念及运算1.向量加法的几何意义:起点相同时适用平行四边形法则(对角线),首尾相接适用“蛇形法则”(),表示ABC的边BC的中线。向量减法的几何意义:起点相同适用三角形法则,(终点连结而成的向量,指向被减向量),

2、

3、表示A、B两点间的距离;以、为邻边的平行四边形的两条对角线长分别为

4、+

5、、

6、-

7、。是的重心。会用“模不等式”:

8、

9、

10、-

11、

12、

13、≤≤

14、

15、+

16、

17、解决有关模的范围问题,关注等号成立的条件。[举例1]已知△ABC的三个顶点A、B、C及其所在平面内一点P,满足++=,则点P与△ABC的关系为:A.P在△ABC内部B.P在△

18、ABC外部C.P在边AB所在的直线上D.P是AC边的一个三等分点解析:由++=+=++==-2P与A、C共线且为线段AC的三等分点,选D。[来源:学+科+网][举例2]已知=(3,4),=1,则

19、

20、的取值范围是__________解析:思路一:用“模不等式”≥

21、

22、

23、-

24、

25、

26、

27、5-

28、

29、

30、≤1

31、

32、∈[4,6]。[来源:学&科&网Z&X&X&K]思路二:记=,=,则A(3,4),=

33、

34、=1,即点B到定点A的距离为1,∴点B在以A为圆心,1为半径的圆周上,数形结合不难得到

35、

36、∈[4,6],即

37、

38、∈[4,6]。[来源:学科网][巩固]已知⊿ABC,若对任意t∈R,

39、

40、

41、≥

42、

43、,则A.∠A=900B.∠B=900C.∠C=900D.∠D=900[迁移]已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos,sin),则向量与向量的夹角范围为:(A)[0,](B)[,](C)[,](D)[,]2.在≠0时,∥(即、共线)存在实常数使=(特别地:当>0时同向,当<0时反向);若=(x1,y1),=(x2,y2),则∥x1y2=x2y1(“共线”的坐标表示)。引申:若A、B、P三点共线,则;拓展:若则A、B、C共线当且仅当=1。[关注]表示与向量同向的单位向量,(),>0表示∠BAC的平分线。[举例]设、是两个起点相同且不共线的

44、非零向量,则当实数t=______时,,t,(+)三向量的终点共线[来源:学科网]解析:记=,t=,(+)=,A、B、C三点共线即向量、共线存在实数,使得=即:t-=(-),∵、不共线(很重要!)∴t=且1=t=。注意:若、不共线的非零向量,且m+n=p+q则:M=n且p=q(m,n,p,q是实数),读者可以思考一下为什么?[巩固]非零向量=(sin,1),=(0,cos),-所在的直线的倾角为,(1)若与共线,求的值;(2)当∈(0,)时,求证:=/2。[迁移]是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足:=+则P点的轨迹一定通过△ABC的的轨迹一定通过

45、△ABC的[来源:学&科&网Z&X&X&K](A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心3.向量的数量积:(符号运算);其中可视为向量在向量上的射影。向量的数量积是数而不是向量,向量的射影是数而未必是正数。。向量的数量积满足交换率、对加(减)法的分配率、不满足结合率,即(·)·≠·(·),一个等式的两边、一个分式的分子分母不能同乘以或同除以一个向量。若=(x1,y1),=(x2,y2),则·=x1x2+y1y2(坐标运算);在使用向量数量积的公式时,要根据题目的条件和设问特点选择使用符号运算还是坐标运算。应用:(1)角度:且;可视为与、同向的两个单位向量的数量积;

46、<,>为锐角>0且、不共线,<,>为锐角>0且、不共线;特别地:0x1x2+y1y2=0;O是⊿ABC的垂心·=·=·(请读者证明这个结论)。(2)长度:即∣∣2=()2(符号运算);∣∣2=x12+y12(坐标运算)。⊥

47、-

48、=

49、+

50、(矩形),(-)⊥(+)

51、

52、=

53、

54、(菱形),

55、-

56、2+

57、+

58、2=2(

59、

60、2+

61、

62、2)(即平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和,对已知三角形三边长求中线长的问题用这个结论很快捷)。[举例1]已知=(1,0),=(0,1),求使向量+k与向量+2k的夹角为锐角的k的取值范围。解析:+k=(1,k),+2k=(2k,1),向量+

63、k与向量+2k的夹角为锐角[来源:学科网ZXXK](+k)(+2k)>0,且+k与+2k不共线,即2k+k>0且2k2≠1得:k>0,且k。[举例2]已知向量=(cos,sin),=(cos,—sin),且x∈[,].(1)求及

64、+

65、;(II)求函数f(x)=-的最小值。解析:(Ⅰ)=coscos—sinsin=cos2x(坐标运算),==—2cosx(符号运算);[来源:学.科.网Z.X.X.K](Ⅱ)f(x)=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx—1=2(cosx+)2,cosx∈[-1,0]当cosx=0时f(x)取得最小值。[巩固1]已知与

66、的夹角为60°,如果,则m的值为( )

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1、2011届高三数学精品复习之平面向量的概念及运算1.向量加法的几何意义:起点相同时适用平行四边形法则(对角线),首尾相接适用“蛇形法则”(),表示ABC的边BC的中线。向量减法的几何意义:起点相同适用三角形法则,(终点连结而成的向量,指向被减向量),

2、

3、表示A、B两点间的距离;以、为邻边的平行四边形的两条对角线长分别为

4、+

5、、

6、-

7、。是的重心。会用“模不等式”:

8、

9、

10、-

11、

12、

13、≤≤

14、

15、+

16、

17、解决有关模的范围问题,关注等号成立的条件。[举例1]已知△ABC的三个顶点A、B、C及其所在平面内一点P,满足++=,则点P与△ABC的关系为:A.P在△ABC内部B.P在△

18、ABC外部C.P在边AB所在的直线上D.P是AC边的一个三等分点解析:由++=+=++==-2P与A、C共线且为线段AC的三等分点,选D。[来源:学+科+网][举例2]已知=(3,4),=1,则

19、

20、的取值范围是__________解析:思路一:用“模不等式”≥

21、

22、

23、-

24、

25、

26、

27、5-

28、

29、

30、≤1

31、

32、∈[4,6]。[来源:学&科&网Z&X&X&K]思路二:记=,=,则A(3,4),=

33、

34、=1,即点B到定点A的距离为1,∴点B在以A为圆心,1为半径的圆周上,数形结合不难得到

35、

36、∈[4,6],即

37、

38、∈[4,6]。[来源:学科网][巩固]已知⊿ABC,若对任意t∈R,

39、

40、

41、≥

42、

43、,则A.∠A=900B.∠B=900C.∠C=900D.∠D=900[迁移]已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos,sin),则向量与向量的夹角范围为:(A)[0,](B)[,](C)[,](D)[,]2.在≠0时,∥(即、共线)存在实常数使=(特别地:当>0时同向,当<0时反向);若=(x1,y1),=(x2,y2),则∥x1y2=x2y1(“共线”的坐标表示)。引申:若A、B、P三点共线,则;拓展:若则A、B、C共线当且仅当=1。[关注]表示与向量同向的单位向量,(),>0表示∠BAC的平分线。[举例]设、是两个起点相同且不共线的

44、非零向量,则当实数t=______时,,t,(+)三向量的终点共线[来源:学科网]解析:记=,t=,(+)=,A、B、C三点共线即向量、共线存在实数,使得=即:t-=(-),∵、不共线(很重要!)∴t=且1=t=。注意:若、不共线的非零向量,且m+n=p+q则:M=n且p=q(m,n,p,q是实数),读者可以思考一下为什么?[巩固]非零向量=(sin,1),=(0,cos),-所在的直线的倾角为,(1)若与共线,求的值;(2)当∈(0,)时,求证:=/2。[迁移]是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足:=+则P点的轨迹一定通过△ABC的的轨迹一定通过

45、△ABC的[来源:学&科&网Z&X&X&K](A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心3.向量的数量积:(符号运算);其中可视为向量在向量上的射影。向量的数量积是数而不是向量,向量的射影是数而未必是正数。。向量的数量积满足交换率、对加(减)法的分配率、不满足结合率,即(·)·≠·(·),一个等式的两边、一个分式的分子分母不能同乘以或同除以一个向量。若=(x1,y1),=(x2,y2),则·=x1x2+y1y2(坐标运算);在使用向量数量积的公式时,要根据题目的条件和设问特点选择使用符号运算还是坐标运算。应用:(1)角度:且;可视为与、同向的两个单位向量的数量积;

46、<,>为锐角>0且、不共线,<,>为锐角>0且、不共线;特别地:0x1x2+y1y2=0;O是⊿ABC的垂心·=·=·(请读者证明这个结论)。(2)长度:即∣∣2=()2(符号运算);∣∣2=x12+y12(坐标运算)。⊥

47、-

48、=

49、+

50、(矩形),(-)⊥(+)

51、

52、=

53、

54、(菱形),

55、-

56、2+

57、+

58、2=2(

59、

60、2+

61、

62、2)(即平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和,对已知三角形三边长求中线长的问题用这个结论很快捷)。[举例1]已知=(1,0),=(0,1),求使向量+k与向量+2k的夹角为锐角的k的取值范围。解析:+k=(1,k),+2k=(2k,1),向量+

63、k与向量+2k的夹角为锐角[来源:学科网ZXXK](+k)(+2k)>0,且+k与+2k不共线,即2k+k>0且2k2≠1得:k>0,且k。[举例2]已知向量=(cos,sin),=(cos,—sin),且x∈[,].(1)求及

64、+

65、;(II)求函数f(x)=-的最小值。解析:(Ⅰ)=coscos—sinsin=cos2x(坐标运算),==—2cosx(符号运算);[来源:学.科.网Z.X.X.K](Ⅱ)f(x)=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx—1=2(cosx+)2,cosx∈[-1,0]当cosx=0时f(x)取得最小值。[巩固1]已知与

66、的夹角为60°,如果,则m的值为( )

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