名校之门2011届高三数学精品复习之(09)平面向量的概念及运算

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1、2011届高三数学精品复习之平面向量的概念及运算1．向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”（），表示ABC的边BC的中线。向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），

2、

3、表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线长分别为

4、+

5、、

6、-

7、。是的重心。会用“模不等式”：

8、

9、

10、-

11、

12、

13、≤≤

14、

15、+

16、

17、解决有关模的范围问题，关注等号成立的条件。[举例1]已知△ABC的三个顶点A、B、C及其所在平面内一点P，满足++=，则点P与△ABC的关系为：A

18、.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在边AB所在的直线上D.P是AC边的一个三等分点解析：由++=+=++==-2P与A、C共线且为线段AC的三等分点，选D。[来源:学+科+网][举例2]已知=（3，4），=1，则

19、

20、的取值范围是__________解析：思路一：用“模不等式”≥

21、

22、

23、-

24、

25、

26、

27、5-

28、

29、

30、≤1

31、

32、∈[4，6]。[来源:学&科&网Z&X&X&K]思路二：记=，=，则A（3，4），=

33、

34、=1，即点B到定点A的距离为1，∴点B在以A为圆心，1为半径的圆周上，数形结合不难得到

35、

36、∈[4，6]，即

37、

38、∈[4，6]

39、。[来源:学科网][巩固]已知⊿ABC，若对任意t∈R，

40、

41、≥

42、

43、，则A．∠A=900B．∠B=900C．∠C=900D．∠D=900[迁移]已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cos,sin），则向量与向量的夹角范围为：(A)[0,](B)[,](C)[,](D)[,]2.在≠0时，∥(即、共线)存在实常数使=（特别地：当>0时同向，当<0时反向）；若=（x1,y1）,=(x2,y2),则∥x1y2=x2y1（“共线”的坐标表示）。引申：若A、B、P三点共线，则；拓展：若则A、B、C共线当且仅当=1。[关注]表示与向量

44、同向的单位向量，（），>0表示∠BAC的平分线。[举例]设、是两个起点相同且不共线的非零向量，则当实数t=______时，,t,(+)三向量的终点共线[来源:学科网]解析：记=，t=，(+)=，A、B、C三点共线即向量、共线存在实数，使得=即：t-=（-），∵、不共线（很重要！）∴t=且1=t=。注意：若、不共线的非零向量，且m+n=p+q则：M=n且p=q(m,n,p,q是实数)，读者可以思考一下为什么？[巩固]非零向量=（sin,1）,=(0,cos),-所在的直线的倾角为，（1）若与共线，求的值；（2）当∈（0，）时，求证：=

45、/2。[迁移]是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：=+则P点的轨迹一定通过△ABC的的轨迹一定通过△ABC的[来源:学&科&网Z&X&X&K]（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心3．向量的数量积：（符号运算）；其中可视为向量在向量上的射影。向量的数量积是数而不是向量，向量的射影是数而未必是正数。。向量的数量积满足交换率、对加（减）法的分配率、不满足结合率，即（·）·≠·（·），一个等式的两边、一个分式的分子分母不能同乘以或同除以一个向量。若=（x1,y1）,=(x2,y2),则·=x1x2+y1y2（坐标运算）;在

46、使用向量数量积的公式时，要根据题目的条件和设问特点选择使用符号运算还是坐标运算。应用：（1）角度：且；可视为与、同向的两个单位向量的数量积；<,>为锐角>0且、不共线，<,>为锐角>0且、不共线；特别地：0x1x2+y1y2=0；O是⊿ABC的垂心·=·=·（请读者证明这个结论）。（2）长度：即∣∣2=（）2（符号运算）；∣∣2=x12+y12（坐标运算）。⊥

47、-

48、=

49、+

50、（矩形），（-）⊥（+）

51、

52、=

53、

54、（菱形），

55、-

56、2+

57、+

58、2=2（

59、

60、2+

61、

62、2）（即平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，对已知三角形三边长求中线长的问

63、题用这个结论很快捷）。[举例1]已知=（1，0），=（0，1），求使向量+k与向量+2k的夹角为锐角的k的取值范围。解析：+k=（1，k），+2k=（2k，1），向量+k与向量+2k的夹角为锐角[来源:学科网ZXXK]（+k）（+2k）>0,且+k与+2k不共线，即2k+k>0且2k2≠1得：k>0,且k。[举例2]已知向量＝（cos，sin），＝（cos，—sin），且x∈［，］.(1)求及

64、+

65、；（II）求函数f(x)＝-的最小值。解析：（Ⅰ）=coscos—sinsin=cos2x（坐标运算）,==—2cosx（符号运算）；[

66、来源:学.科.网Z.X.X.K]（Ⅱ）f(x)=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx—1=2（cosx+）2，cosx∈[-1，0]当cosx=0时f(x)取得最小值。[巩固1]已知与的夹角为60°，如果，则m的值为（　）