小学奥数专题最值问题

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1、小学奥数专题——最值宗煌（KYO）【最小值问题】例1外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距

2、离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。例2在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在

3、同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。故，O点即为三只蚂蚁会面之处。【最大值问题】例1有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接

4、近。故图（3）的面积最大。例2某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。（台北市数学竞赛试题）讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原

5、理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。最值规律——【积最大的规律】（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是如果a1+a2+…+an=b（b为一常数），那么，当a1=a2=…=an时，a1×a2×…×an有最大值。由“积最大规律”，可以推出以下的结论：结论1所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。结论2在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大

6、（2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果a1×a2×…×an=c（c为常数），那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an有最小值。推论由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。【体积变化规律】在表面积一定的

7、正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。【排序不等式】对于两个有序数组：a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn，则a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（乱序）≥a1bn+a2bn-1+……+a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n为b1、b2、……、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn时，式中等号成立。）由这一不

8、等式可知，同序积最大，倒序积最小。例题