抽象函数常见题型和解法

《抽象函数常见题型和解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、《汤阴一中高三数学学习材料教师版》编写人：苗丽敏抽象函数的常见题型及解法一、抽象函数的定义域1.已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x(a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是：由a

2、域x(a,b)，求f(x)的定义域，其方法是：由a

3、层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f()的定义域.解：∵f(x+1)的定义域为，5《汤阴一中高三数学学习材料教师版》编写人：苗丽敏∴-2≤x3，∴-1≤x+14即f(x)的定义域为.∴-1≤<4，∴-3≤<2即-3≤<0或0<<2解得X≤-或x>∴函数的定义域为:1.已知f(x)的定义域，求f[(x)]+f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x(a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x的范围，即为f[(x)]+

4、f[g(x)]的定义域。例1.已知f(x)的定义域为[-1，2]，求g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.解：由题意得：-1≤x≤1,故函数的定义域为[-1，1].例2.已知f(x)的定义域为[0，1]，求g(x)=f(x+m)+f(x-m)的定义域.解：由题意得：解此不等式组，须讨论1-m与m的大小（1）当1-m时，不等式无解，此时函数关系不存在。（2）当1-m=m即m=时,x=m=.（3）当1-m>m即0

5、m}.一、抽象函数的解析式5《汤阴一中高三数学学习材料教师版》编写人：苗丽敏一、抽

6、象函数的对称性二、抽象函数的单调性三、抽象函数不等式的解法简单概括为f的“穿”、“脱”问题。将函数符号加上即为“穿”、将函数符号去掉即为“脱”，根据函数值相等----先“穿”，根据函数的单调性----后“脱”。例1.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，当x>1时,f(x)>0，且f(x.)=f(x)+f(y)。（1）求f(1);（2）证明f(x)在定义域上是增函数;（3）如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f()2的x的取值范围。分析：（1）求抽象函数的值常采用赋值法。（2）应利用单调性定义证明，在作差f（x2）-f(x1)变形时，注意条件f(x.)

7、=f(x)+f(y)的应用及拆、添、凑的思想的运用。（3）解抽象函数不等式，实际上就是f的“穿”、“脱”问题。先“穿”后“脱”。解：（1）令x=y=1，得f(1)=2f(1)，故f(1)=0（2）任取x1，x2∈(0,+∞)，且x11,由题意得：f()>0∴f(x2)－f(x1)=f()-f(x1)=f()+f(x1)-f(x1)=f()>0∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上的增函数方法二：令y=,得f(1)=f(x)=f(x)+f()=0故f()=-f(x)任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1

8、x2)+f()=f()5《汤阴一中高三数学学习材料教师版》编写人：苗丽敏由于>1，故f()>0∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上的增函数（3）∵f()=-1，∴-f()=12=1+1=-f()-f()=-[f()+f()]=-f()=-f()f(x)-f()2f(x)-f()-f()f(x)+f()f()f()f()∴解得:x∴x的取值范围为{x

9、x}例2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1且对任意a、b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)。（1）证明：f(0)＝1。（2）证明：对任意的x∈R，恒有f(x

10、)＞0。（3）证明f(x)是R上的增函数。（4）若f