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1、联赛导引(五)平面图形立体图形空间向量一,基础知识导引<一>,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法1,运用定义证明(有时要用反证法);2,运用平行关系证明;3,运用垂直关系证明;4,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.例如,在证明:直线直线时.可以这样考虑(1),运用定义证明直线与所成的角为;(2),运用三垂线定理或其逆定理;(3),运用“若平面,,则”;(4),运用“若且,则”;(5),建立空间直角坐标系,证明.<二>,空间中的角和距离的计算1,求异面直线所成的角(1),(平移法)过P作,,则与的夹角就是与的夹角;(2),证明(或),则与的夹角为(或);(3),求与所成的角(
2、),再化为异面直线与所成的角().2,求直线与平面所成的角(1),(定义法)若直线在平面内的射影是直线,则与的夹角就是与的夹角;(2),证明(或),则与的夹角为(或);(3)求与的法向量所成的角,则与所成的角为或.3,求二面角(1),(直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过P作AB的垂线,交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则,故为所求的二面角.(2),(面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形F的面积为,F在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).(3),(异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角的平面角,EA在半平面内且于点A,BF在半平
3、面内且FBAB于B,而,,.(4),(三面角的余弦定理),三面角中,,,,又二面角,则.(5),(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为(同类)或(异类).4,求两点A,B间距离(1),构造三角形进行计算;(2),导面直线上两点间的距离公式;(3),求.5,求点到直线的距离(1),构造三角形进行计算;(2),转化为求两平行红色之间的距离.6,求点到平面的距离(1),直接计算从点到平面所引垂线段的长度;(2),转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(3),(体积法)转化为求一个棱锥的高,其中V为棱锥体积,S为底面面积,为底面上的高.(4),在平面上取
4、一点A,求与平面的法向量的夹角的余弦,则点P到平面的距离为.7,求异面直线的距离(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长;(2)(体积法)转化为求几何体的高;(3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;(5)(射影法)如果两异面直线在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线,则与的距离等于P到的距离;(6)(公式法).8,求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.<三>,多面体与旋转体1,柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积(为直截面周长,为侧棱或母线长)(2)体积
5、(为底面积,为高)2,锥体(棱锥与圆锥)(1)正棱锥的侧面积(为底面周长,为斜高)(2)圆锥的侧面积:(为底面周长,为母线长)(3)锥体的体积:(为底面面积,为高).3,锥体的平行于底面的截面性质:.4,球的表面积:;球的体积:.二,解题思想与方法导引1,空间想象能力;2,数形结合能力;3,平几与立几间的相互转化;4,向量法三,习题导引<一>,选择题1,正四面体的内切球和外接球的半径之比为A,1:2B,1:3C,1:4D,1:92,由曲线,,,围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为;满足,,的点组成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为,则ABCDA,B,C,D,3,如右图,
6、底面半径,被过A,D两点的倾斜平面所截,截面是离心率为的椭圆,若圆柱母线截后最短处,则截面以下部分的几何体体积是A,B,C,D,4,在四面体ABCD中,设,,直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四面体ABCD的体积等于A,B,C,D,5,三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1,那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是A,B,C,D,6,四面体ABCD的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为,共10个点,任取4个点,则这4个点不共面的概率是A,B,C,D,<二>,填空题7,正方体的棱长为,则异面直线C与BD间的距离等于.8,正四棱锥中,,二面
7、角为且,(,为整数),则.9,在正三棱锥中,,,过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面的周长最小时,,P到截面ADE的距离为.10,空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这四个球都相切,则这个小球的半径等于.11,三个的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B两AB片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个多面体的体积为.12,直三棱柱中,平面平面,且=,则AC与平面所成的角的取值范围是.<三>,解答题ABC
