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1、§19立体图形与空间向量一.直线,平面之间的平行与垂直的证明方法1．运用定义证明(有时要用反证法);2．运用平行关系证明;3．运用垂直关系证明;4．建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.例如,在证明:直线直线时.可以这样考虑(1)运用定义证明直线与所成的角为;(2)运用三垂线定理或其逆定理;(3)运用“若平面,,则”;(4)运用“若且,则”;(5)建立空间直角坐标系,证明.二.空间中的角和距离的计算1．求异面直线所成的角(1)(平移法)过P作,,则与的夹角就是与的夹角;(2)证明(或),则与的夹角为(或);(3)求与所成的角(),再化为异面直线与所成的角().2,求直
2、线与平面所成的角(1)(定义法)若直线在平面内的射影是直线,则与的夹角就是与的夹角;(2)证明(或),则与的夹角为(或);(3)求与的法向量所成的角,则与所成的角为或.3．求二面角(1)(直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过P作AB的垂线,交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则,故为所求的二面角.(2)(面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形F的面积为,F在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).(3)(异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角的平面角,EA在半平面内且于点A,BF在半平面内且FBAB于B,而,,.(4)(三面
3、角的余弦定理),三面角中,,,,又二面角,则.(5)(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为(同类)或(异类).4.求两点A,B间距离(1)构造三角形进行计算;(2),导面直线上两点间的距离公式;(3),求.5.求点到直线的距离(1)构造三角形进行计算;(2)转化为求两平行红色之间的距离.6.求点到平面的距离(1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度;(2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(3)(体积法)转化为求一个棱锥的高,其中V为棱锥体积,S为底面面积,为底面上的高.(4)在平面上取一点A,求与平面的法向量的夹角的余弦,则点P到
4、平面的距离为.7.求异面直线的距离(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长;(2)(体积法)转化为求几何体的高;(3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;(5)(射影法)如果两异面直线在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线,则与的距离等于P到的距离;(6)(公式法).8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.三.多面体与旋转体1.柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积(为直截面周长,为侧棱或母线长)(2)体积(为底面积,为高)2.锥体(棱锥与圆锥
5、)(1)正棱锥的侧面积(为底面周长,为斜高)(2)圆锥的侧面积:(为底面周长,为母线长)(3)锥体的体积:(为底面面积,为高).3.锥体的平行于底面的截面性质:.4.球的表面积:;球的体积:.四.解题思想与方法导引1.空间想象能力;2.数形结合能力;3.平几与立几间的相互转化;4.向量法例题讲解1．正四面体的内切球和外接球的半径之比为()A,1:2B,1:3C,1:4D,1:92．由曲线,,,围成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为;满足,,的点组成的图形绕轴旋转一周所得的几何体的体积为,则()ABCDA,B,C,D,3．如右图,底面半径,被过A,D两点的倾斜平面所
6、截,截面是离心率为的椭圆,若圆柱母线截后最短处,则截面以下部分的几何体体积是()A,B,C,D,4．在四面体ABCD中,设,,直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四面体ABCD的体积等于()A,B,C,D,5．三个圆柱侧面两两相切,且它们的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1,那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是()A,B,C,D,6．四面体ABCD的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为,共10个点,任取4个点,则这4个点不共面的概率是()A,B,C,D,7．正方体的棱长为,则异面直线C与BD间的距离等于.8．正四棱锥中,,二面角为且,(,为整数),
7、则.9．在正三棱锥中,,,过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面的周长最小时,,P到截面ADE的距离为.10．空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这四个球都相切,则这个小球的半径等于.11．三个的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B两AB片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个多面体的体积为.12．直三棱柱中,平面平面,且=,则AC与平面所成的角的取值范围是.ABCA1B1C113．如图,直三棱柱中,,连接,,,若,求证:ABCDMKNS14．如图,设是一个高为3,底面边
