结构总刚方程的特性及其求解方法

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1、第九章结构总刚方程的特性及其求解方法一、结构总刚矩阵的特性l对称性由：l稀疏性当结构的离散单元较多时，对一个节点p的变形能提供刚度仅与该节点相连的那些单元有关（称这些单元上的节点为节点p的相关联节点）。相关联节点总比总节点数要少的多，故总体刚度矩阵中每一行的非零元素只占该行元素总数的一少部分。这样的矩阵称为稀疏矩阵。可利用总刚阵的稀疏性，设法只存储总刚阵中与非零元素相关的那些矩阵元素，可大大节省计算机的内存。l带状性带状性是指稀疏矩阵中的元素比较集中地位于对角线元附近。当我们进行结构离散化网格，只要对节点编号稍加注意，就总能做到使每一个节点与相

2、关联节点的编号比较接近。这样，就可使总刚阵中的非零元素较集中于对角线的两侧。l奇异性有限元的分析计算步骤中，最初形成单元刚阵和组集总刚阵时，未考虑分片差值曲线（面）对边界条件的满足。从能量原理讲，此时无法获得最小能量解。由此，必须置入适当的边界条件。边界条件的置入是在离散化单元组集后的能量变分后进行的（因为此时获得了明确的结构刚度矩阵方程）。从物理上分析，在置入边界条件前，结构总刚阵是奇异的。二、结构总刚的处理方案l奇异消除的置大数法及其原理以前学过强加边界条件的划行划列及置“1”法。虽然这些方法是准确的，但都要对矩阵结构做很多处理，显然不十分

3、方便。置大数法是强加边界条件的一种近似方法，该方法对刚阵的处理却十分简单。ⅰ/置大数法步骤设给定的边界条件：（为一个或多个节点位移）在结构总刚对应行的对角线上，取：（D为一大数，1020～40）在载荷列阵相应的行上，取：ⅱ/验证置大数法的近似性对应第i行刚阵，写出其相应刚度方程：<

4、上式近似于：但应注意：一定是给定零位移条件下有较好的精度，否则精度十分差。如：显然差之千里。ⅳ/罚函数约束变分原理置大数法可归入罚函数约束变分原理当中，以下简介之。考虑对一个弹性体的无约束变分问题，增加一组约束方程组：(研究域)该约束条件的置入，可采用乘子法。但拉氏乘子法变分原理是以扩大计算变量为代价的，当然，可通过对约束方程的了解和推导，建立起拉氏乘子的物理形式，从而获得广义变分原理。但总的来说，计算量扩大或变得难以处理。罚函数约束变分原理没有上述缺点，也不过多改变刚度方程性质，但解的性质是随罚函数的增大而趋向好的近似性。思路及方法：及罚函数

5、约束变分原理是把直接约束条件转换成积分约束，即新泛函为：（求解时再不考虑的条件）其中，是一个罚数，如果本身是要取极小值的，则应当是一个正数（因为后面的积分大于或等于零），使泛函取驻值而得到的解只是近似地满足约束条件，值越大，约束条件满足得越好。直观上看，要使有极小值，若当很大时，如：为有限值，则不可能取极小值，故只有当很大时，（这不是证明，只能说明这种解的趋势）。举一个例子：（引入单个约束时不需积分）关于参数的极小值，即：可以看到随的增大，2610100a1=-12.00-12.00-12.00-12.00-12.00a2=-13.5-13.0

6、0-12.43-12.27-12.03在有限元中，若引入一强制边界条件：能量泛函修正为：；由这正是上面所讲的置大数法。v/结构总刚的存贮方案之一：变带宽一维存贮法因为结构总刚是稀疏对称的，形如右图。为节省内存，可采用存贮每一行从第一个非“0”元到对角线元的办法。各行顺序接起来，并用一管理数组记录每一行从第一个非“0”元到对角线元的个数即可。这就是常用的一种有限元结构总刚的存贮方案。从第一个非“0”元到对角线元结构的元素个数叫做每行的带宽，记为。1n1n1+1n2n2+1n3..叫作矩阵的包络。三、结构总刚方程的计算方法（1）分解法由对称满秩矩阵

7、的三角分解定理，可作如下唯一分解：其中下三角阵总刚方程的计算：记：记：…………..得：…………..由方程是下三角阵，可采用向下回代过程计算即：由方程中是上三角单位阵，可采用向上回代过程求得剩余的问题是如何将进行分解，采用对等法：（可只计算下三角阵部分元素即可）由此，；仔细研究上述数值计算，可以发现：在每行的第一个非“0”元素前，分解过程不产生非“0”元。即元素仅处于原总刚的带宽之间，这保证了一维存贮方式的有效性。在分解K阵过程中，每一个元素仅用到过一次，这保证了分解好的元素可以放在总刚的原位置上。这样不必开设新的内存空间，仅用原总刚存贮分解好的

8、总刚。仔细研究以下的分解计算步骤：ikm1由公式：（从上图中，只能看到第一个非零元））看求和号内元素乘积规律，可以发现：a.从1到列，元素都为“0”，