数列的综合应用(1)

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1、数列的综合应用知识点归纳等差与等比的互变关系：8等比、等差数列和的形式：待定系数法例7已知数列满足，求数列的通项公式。解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例8已知数列满足，求数列的通项公式。解：设⑥将代入⑥式，得9整理得。令，则，代入⑥式得⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列

2、，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9已知数列满足，求数列的通项公式。解：设⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入⑧式，得9⑨由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。题型讲解例1等差数列{an}的首项a1>0,前n项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k),问n为何值时，Sn最大？解：根据，首项a1>0,若m+k为偶数,则当n=(m+k)/2时，Sn最大；若m+k为奇数，当n=(m+k─1)/2或n=(m+k+1

3、)/2时，Sn最大例2已知关于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>对于一切大于1的自然数n都成立，求a的取值范围解：把1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式∵f(n)＝1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)∴f(n+1)－f(n)＝〔1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n+2)〕－〔1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)〕＝1/(2n+2)+1/(2n+1)－1/(n+1)＝1/(2n+1)－1/(2n+2)>0∴f(n+1)>f(n)∴函数f(n)是增函

4、数，故其最小值为f(2)=7/12,∴7/12>,解得：1

5、ar/(2d),9∴1/(mr+1+1)─1/(mr+1)=〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2,∴{1/(mr+1)}是等差数列例8一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2,…xn,由已知x2─x1=x3─x2=x4─x3=…=xn─xn─1,∴{xn}为等差数列，又每个水龙头每分钟放水

6、时间是1/(24n),∴Þx1+x2+…+xn=24n;即n(x1+xn)/2=24nÞx1+xn=48,又xn=5x1,［例2］设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)解法一：设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有化简得.设数列{lgan}前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)=nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)l

7、g3=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n可见，当n=时，Sn最大.而=5,故{lgan}的前5项和最大.解法二：接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg,∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤=5.5.由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大.8.(★★★★★){an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*)