应用题的数量关系及其教学

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1、应用题的数量关系及其教学小学数学课程标准对小学数学应用题作了较大的改革，对于克服原来应用题存在的诸多弊端，培养学生从数学的角度提出问题，发展应用意识，形成解决问题的策略，发展实践能力与创新精神起了积极的作用。但在最近几年的实践中，许多教师对教材中应用题的数量关系教学要求不太明确展开了讨论。笔者通过学习、研究，对数量关系的有关问题进行了思考，下面从三个方面与同行交流，祈求大家批评指正。一、数量关系是数量之间的本质联系。应用题的数量关系就是从一类共同规律的数学问题中总结出来的某些数量之间的本质联系，并以数量关系式表示这种

2、联系。小学数学中的数量关系主要涉及两个层面，一个是基本数量关系；另一个是常用的数量关系。基本数量关系一般是根据四则运算的意义分为四类：部分数与总数关系，两数相差关系，每份数、份数与总数关系，倍数关系，其中再分加法两种、减法三种、乘法两种、除法四种共十一种，并用相应的数量关系式表示，以此列出十一种简单应用题的名称。苏教版小学数学教材，根据学生认知水平，将这十一种基本数量关系分散在一、二年级各册，结合加、减、乘、除的意义中进行教学。具体安排如下表：数量关系教材简单应用题名称部分与总数关系部分数+部分数=总数一上求总数总数

3、—部分数=部分数一上求剩余数两数相差关系大数—小数=相差数一下求两数相差多少小数+相差数=大数二下求比一个数多几的数大数—相差数=小数二下求比一个数少几的数每份数、份数与总数的关系每份数×份数=总数二上求几个相同加数的和总数÷份数=每份数二上求每份数总数÷每份数=份数二上求一个数包含几个另一个数倍数关系几倍数÷一倍数=倍数二下求一个数是另一个数的几倍几倍数÷倍数=一倍数二下已知一个数的几倍是多少，求这个数一倍数×倍数=几倍数二下求一个数的几倍是多少表中的十一种数量关系构成了现实世界的数学模型，不仅成为思考解答简单应用

4、题的依据，而且是解答复合应用题的依据，因为在解答复合应用题时，每一步都离不开这种关系，无论应用题的内容怎样千变万化，但是在加、减、乘、除的运算过程中，每一步的关系都不会离开上述关系的某一种。以后随着年级的升高，教学“求一个数是另一个数的几分之几”、“求一个数的几分之几是多少”和“比的前项：比的后项=比值”等数量关系式，实质上也是从其中有关的关系式上延伸拓展而来的，所以这十一种数量关系大家习惯上称基本的数量关系，在小学应用题教学中有着十分重要的地位。学生在运用运算意义和基本数量关系解决生产、生活中实际问题的基础上，对周

5、围生活中的一些数量关系积累了一些感性的认识，教师可以适当地引导他们再抽象概括一些具体的数量关系式，大家习惯上称这种数量关系为“常见的数量关系”。例如：原有数量与增加数量、现有数量之间的关系；原有数量与用去数量、剩下数量之间的关系；单价与数量、总价之间的关系；工作效率与工作时间、工作总量之间的关系；速度与时间、路程的关系等等。上述各种数量关系是小学学习的重要基础，而且是升入高一级学校以后，学习数学、物理、化学中更多更复杂的数量关系的重要基础。二、数量关系是应用题教学的核心。数量关系为什么成为应用题教学的核心，可以从以下

6、四个方面来理解：1.数量关系是应用题的重要结构之一。应用题是数学表述与客观存在的中介，是去掉无关因素而只保留了数量关系的现实。所以，一道完整的应用题，都由两个基本部分组成：一是事理，说的是怎么回事及其情节的发展变化；二是至少具备两个已知条件和一个问题。事理和数量关系交织在一起的，而且是不可分割的，但其中的数量关系是运用数学知识分析和解决生产、生活中具体问题中特有的而且必须具备的，好像人的骨架一样支撑着人体。现在新教材的呈现形式变了，应用题的名称也变了，但应用题的结构没有变；根据已知条件解决问题的本质属性没有变；依据数

7、量关系确定解题思路和方法没有变，所以，数量关系是应用题结构中不可缺少的。2.数量关系是解答应用题的关键。正确解答应用题的思路和方法，一般包括三个要素：一是思考的目标；二是比较熟悉的数量关系；三是有序的推理步骤与方法。其中熟悉基本的数量关系是关键。因为数量关系是应用题解答的重要模型之一，如果数量关系熟悉了，就能根据题中已知的两个数量，可以求出第三个数量；如果根据要求的数量，就必须知道另外两个数量。即使比较复杂的两、三步应用题，可以灵活运用题中的条件进行有效组合，可以逐步获得解题的途径与方法。学生在中低年级这个基础牢固了

8、，又为以后判断正、反比例和方程中寻找等量关系式作了厚实的铺垫。3.抓数量关系是应用题教学的优良传统。历次课程改革的经验证明：改革不是废弃传统，不是对原有的全盘否定，也不是完全重砌炉灶，而是在已有经验基础上的继承与创新、发展与完善。抓应用题中的数量关系，是不知多少代数学教师和专家经过长期实践和研究的结晶，绝对不能削弱，更不能取消。大家可以回顾新教