第7讲 重积分(板书)

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1、第七讲重积分例1计算，其中．（第四届：一、2）解．例2设连续，，令（），求．（第四届：二）解．连续，可导，从而．于是，．注题设条件中的“（）”可去掉，结果相同．因为去掉条件“”后，由于（）是偶函数，则是奇函数，从而，得．例3记，，，则下列关系式成立的是（A）；　（B）；　（C）；（D）；　（E）；　（F）．（第五届大专组：二、5）解由于，并且被积函数相同、连续、非负，即知；由与的范围，以及被积函数关于单调增，可知．故应选（C）．例4求曲面与平面所围成立体的体积．6（第五届大专组：五）解所给曲面方程：．令，得所围立体在面上的投影区域：，即．故所求体积．例5记，，，其中：，则、与之间的大小

2、关系（用不等式表示）为．（第六届大专组：一、9）解，同理，，．下面比较、、的大小：由，，，有，，．，，，．故应填．6例6记，，，则、与之间的大小关系（用不等式表示为）为．（第六届大专组：一、10）解记．在的内部，有，且连续，，；同理，有，．故应填．例7求，其中：，．（第六届大专组：五）解．例8计算，其中．（第七届甲乙组：三）解．由，解得．记．有6．例9．（第七届大专组：一、11）解原式．例10计算．（第七届大专组：五）解法1．解法2．例11设，是全平面，则的值为．（第十五届甲乙组：一、7）解记．则．例12设，且，证明：．（第十五届甲乙组：八）证（1）证明左边不等式方法1：，6再由，有，

3、即得．方法1：应用柯西—施瓦兹不等式，即得．（2）证明右边不等式由，有，故有，即，从而有．（*）再由，有．即得右边不等式．综上，有．证毕．例13设：，证明：．（第十五届甲乙组：九）证记．，在上的最大值与最小值都存在．又在上可导，且，故在上的最值必在的边界上取得．设．令，，，，解得的驻点为，．而，，所以在上的最大值为，最小值为．所以在上的最大值为，最小值为，且，故有．6证毕．例14设（，是常数），是全平面，则二重积分的值为．（第十五届大专组：一、7）解设，，即．故．例15设和为通过原点的曲线．称曲线平分曲线之间面积，如果对于上任意点，两个阴影区域的面积相等（如图31）．已知的方程为，的方

4、程为，求的方程．（第十五届大专组：五）解设的方程为．由题意，点的坐标为，则，．由于，有，即．两边求导，即得．故的方程为，即．6