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1、15．速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率与、S、的关系.解:设、、S、的关系为，其量纲表达式为:[P]=,[]=,[]=,[]=,这里是基本量纲.量纲矩阵为：A=齐次线性方程组为：它的基本解为由量纲定理得 ，，其中是无量纲常数.16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设,,,的关系为,,,=0.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=M
2、LL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0，即第一章作业解答第15页共15页的基本解为y=(-3,-1,1,1)由量纲定理得.，其中是无量纲常数.16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设,,,，的关系为.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0
3、，[]=LM0T-2其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0即的基本解为得到两个相互独立的无量纲量即.由,得,其中是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.第一章作业解答第15页共15页解：设阻尼摆周期,摆长,质量,重力加速度，阻力系数的关系为其量纲表达式为：，其中，，是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组的基本解为得到两个相互独立的无量纲量∴,,∴，其中是未定函数.考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为
4、,；,;,.又当无量纲量时，就有.第一章作业解答第15页共15页（三）2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售速率为常数，．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况.解：由题意可得贮存量的图形如下：O贮存费为又,贮存费变为于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为.,得易得函数取得最小值，即最优周期为：.相当于不考虑生产的情况..此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第一章作业解答第15页共15页3．在3
5、.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如下假设:，分母而加的.总费用函数最优解为1.对于5.1节传染病的模型，证明：（1）若，然后减少并趋于零；单调减少至（2）解：传染病的模型（14）可写成（1）第一章作业解答第15页共15页（2）4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力相同.(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的
6、胜负.解:用表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:现求(1)的解:(1)的系数矩阵为.再由初始条件，得第一章作业解答第15页共15页又由其解为(1)即乙方取胜时的剩余兵力数为又令注意到.(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援.则相轨线为此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为（七）第一章作业解答第15页共15页1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．(1)分别就，，这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设
7、时刻t的渔场中鱼的数量为，则由题设条件知：变化规律的数学模型为记(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由，得．即，(1)的解为：①当，，(1)无实根，此时无平衡点；②当，，(1)有两个相等的实根，平衡点为.，不能断定其稳定性.但及均有，即．不稳定；③当，时，得到两个平衡点：，易知：，，，平衡点不稳定，平衡点稳定x(2)最大持续产量的数学模型为第一章作业解答第15页共15页即，易得此时，但这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量
