高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布.几何概型学案理北师大

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1、§12.3　几何概型最新考纲考情考向分析1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率．2.了解几何概型的意义.以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查．在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.1．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G也可以是空间中

2、或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　√　)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　√　)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　√　)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　√　)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何

3、图形的形状有关．(　×　)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(　×　)17题组二　教材改编2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为(　　)A.B.C.D．1答案　B解析　坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)答案　A解析　∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，∴P(A)>

4、P(C)＝P(D)>P(B)．4．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，故选D.题组三　易错自纠5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足

5、x

6、≤m的概率为，则m＝________.答案　3解析　由

7、x

8、≤m，得－

9、m≤x≤m.当0

10、AM

11、>

12、AC

13、的概率为________．答案　解析　设事件D为“作射线CM，使

14、AM

15、>

16、AC

17、”．在AB上取点C′使

18、AC′

19、＝

20、AC

21、，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝＝75°，事件D发生的区域μD＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P(D)＝＝＝.题型一　与长度、

22、角度有关的几何概型1．某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P＝＝，故选B.2.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任

23、作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．17答案　解析　因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.3．在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．答案　解析　方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，则有即解得p≥2或＜p≤1，又p∈[0,5]，则所求概率为

24、P＝＝＝.思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．题型二　与面积有关的几何概型命题点1　与平面图形面积有关的问题典例(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．答案