外文翻译-分数阶导数

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1、译文：分数阶导数的儿童乐园MarciaKleinz,ThomasJ.Osler大学数学学报（美国），2000年3月，31卷，第2期，第82-88页1引言我们都熟悉的导数的定义。通常记作这些都是很容易理解的。我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如但是像这样的记号又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。因为几乎没有任何教科书会提到它。然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz已经开始探讨。在之后的岁月里，包括L’Hospital,Euler,Lagrange,Laplac

2、e,Riemann,Fourier,Liouville等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。Wheeler在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。我们寻找了一个新的想

3、法去介绍分数阶导数。首先我们从熟悉的n阶导数的例子开始，比如。然后用其他数字取代自然数字n。这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。）随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧……2指数函数的分数阶导数我们将首先研究指数函数的导数

4、。因为他们导数的形式，比较容易推广。我们熟悉的导数的表达式。，在一般情况下，当n为整数时，。那么我们能不能用1/2取代n，并记作呢？我们何不尝试一下？为什么不更进一步，让n是一个无理数或者复数比如1+i？我们大胆地写作（1）对任意一个，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。当是负整数时，考虑14（1）式的意义是很有趣的。我们自然希望有成立。因为，所以我们有。同理。当是负整数时，我们将看作是n次迭代的积分是合理。当是正实数，代表导数，当是负实数，代表积分。请注意，我们还没对一般函数给出分数阶导数的定义

5、。但是，如果这一定义被发现，我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式（1）。我们注意到，刘维尔在他的论文[5]和[6]中就是采用这种方法去考虑微分的。问题问题1：在上述情况下，成立吗？问题2：在上述情况下，成立吗？问题3：上述和，真的正确吗？还是遗漏了一些东西？问题4：用蕴含在（1）式的想法，怎样对一般性的函数求分数阶导数？3三角函数：正弦函数和余弦函数我们对于正弦函数的导数很熟悉：这些对于寻求，并没有明显的规律。但是，当我们画出这些函数的图形时，会挖掘出其中的规律。即每当我们求一次微分，的图像向左平

6、移。所以对求n次微分，那么得到的图像就是向左平移，即得到。如前，我们用任意数替换正整数n。所以，我们得到正弦函数的任意次导数的表达式，同理我们也得到余弦函数的：（2）在得到表达式（2）之后，我们自然想，这个猜测与指数函数的结果是否保持一致。为了验证这个猜测，我们可以使用欧拉公式。利用表达式（1），我们可以计算得到，这与（2）式是吻合的。问题问题5：是什么？144的导数我们现在看看x次方的导数。我们以为例有：表达式（3）用连乘的分子和分母去替换，则得到结果如下上式就是的一般表达式。我们通过伽玛函数，用

7、任意数替换正整数n。当（4）式中的p和n是不是自然数时，伽玛函数使他们在替换后任然有意义。伽马函数是欧拉在18世纪引进的概念。当时是推广记号，当z不是整数时。它的定义是，它具有这样的性质。那么我们可以将表达式（4）重新写作这使得当n不是整数式，（4）式还是有意义的。所以对于任意的，我们写作利用（5）式，我们可以将分数阶导数延伸到很多的函数。因为对于任意给定的函数，我们可以利用Taylor级数展开成多项式的形式，假设我们可以对进行任意次微分，那么我们得到最终那个表达式（6）呈现出具有作为分数阶导数定义

8、候选项的气质。因为大量的函数都可以利用Taylor公式展开成幂级数的形式。然后，我们很快会发现它会导致矛盾的产生。问题问题6：是否有几何意义？5一个神秘的矛盾14我们将的分数阶导数写为现在让我们拿它与（6）式进行对比，看看他们是否一致。从Taylor级数来看，结合（6）式，我们得到如下表达式但是，（7）及（8）是不等价的，除非是整数。当是整数时，（8）式的右侧是的级数形式，只是用不同的表达方式。但是当不是整数时，我们得到两个完全不一样的函数。我们发现了历史上引起大问题