数学专业外文翻译----分数阶导数的儿童乐园

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1、浙江师范大学本科毕业设计(论文)外文翻译译文:分数阶导数的儿童乐园MarciaKleinz,ThomasJ.Osler大学数学学报(美国),2000年3月,31卷,第2期,第82-88页1引言我们都熟悉的导数的定义。通常记作这些都是很容易理解的。我们同样也熟悉一些有关导数的性质,例如但是像这样的记号又代表什么意思呢?大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。因为几乎没有任何教科书会提到它。然而,这个概念早在18世纪,Leibnitz已经开始探讨。在之后的岁月里,包括L’Hospital,Eu

2、ler,Lagrange,Laplace,Riemann,Fourier,Liouville等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在,关于“分数微积分”的文献已经大量存在。近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了,就是参考文献[9]和[11]。此外,两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。Wheeler在文献[15]已编制了一些可读性较强,较易理解的资料,虽然这些都还没有正式出版。本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定

3、理的方法介绍它。我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。首先我们从熟悉的n阶导数的例子开始,比如。然后用其他数字取代自然数字n。这种方式,感觉像是侦探一样,步步深入。我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。我们在探讨了各种思路,对分数阶导数的概念后,才对分数阶导数给出正式定义。(如果想快速浏览它的正式定义,请参见米勒的优秀论文,参考文献[8]。)随着探究的深入,我们会不时地让读者去思考一些问题。对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。那到底什么是一个分数阶导数呢?让我们一起来看看吧……2指数函数的分数

4、阶导数我们将首先研究指数函数的导数。因为他们导数的形式,比较容易推广。我们熟悉的导数的表达式。,在一般情况下,当n为整数时,。那么我们能不能用1/2取代n,并记作呢?我们何不尝试一下?为什么不更进一步,让n是一个无理数或者复数比如1+i?15我们大胆地写作(1)对任意一个,无论是整数,有理数,无理数,还是复数。当是负整数时,考虑(1)式的意义是很有趣的。我们自然希望有成立。因为,所以我们有。同理。当是负整数时,我们将看作是n次迭代的积分是合理。当是正实数,代表导数,当是负实数,代表积分。请注意,我们还

5、没对一般函数给出分数阶导数的定义。但是,如果这一定义被发现,我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式(1)。我们注意到,刘维尔在他的论文[5]和[6]中就是采用这种方法去考虑微分的。问题问题1:在上述情况下,成立吗?问题2:在上述情况下,成立吗?问题3:上述和,真的正确吗?还是遗漏了一些东西?问题4:用蕴含在(1)式的想法,怎样对一般性的函数求分数阶导数?3三角函数:正弦函数和余弦函数我们对于正弦函数的导数很熟悉:这些对于寻求,并没有明显的规律。但是,当我们画出这些函数的图形时,会挖掘出其中的规律。即每

6、当我们求一次微分,的图像向左平移。所以对求n次微分,那么得到的图像就是向左平移,即得到。如前,我们用任意数替换正整数n。所以,我们得到正弦函数的任意次导数的表达式,同理我们也得到余弦函数的:(2)在得到表达式(2)之后,我们自然想,这个猜测与指数函数的结果是否保持一致。为了验证这个猜测,我们可以使用欧拉公式。利用表达式(1),我们可以计算15得到,这与(2)式是吻合的。问题问题5:是什么?4的导数我们现在看看x次方的导数。我们以为例有:表达式(3)用连乘的分子和分母去替换,则得到结果如下上式就是的一般

7、表达式。我们通过伽玛函数,用任意数替换正整数n。当(4)式中的p和n是不是自然数时,伽玛函数使他们在替换后任然有意义。伽马函数是欧拉在18世纪引进的概念。当时是推广记号,当z不是整数时。它的定义是,它具有这样的性质。那么我们可以将表达式(4)重新写作这使得当n不是整数式,(4)式还是有意义的。所以对于任意的,我们写作利用(5)式,我们可以将分数阶导数延伸到很多的函数。因为对于任意给定的函数,我们可以利用Taylor级数展开成多项式的形式,假设我们可以对进行任意次微分,那么我们得到最终那个表达式(6)呈

8、现出具有作为15分数阶导数定义候选项的气质。因为大量的函数都可以利用Taylor公式展开成幂级数的形式。然后,我们很快会发现它会导致矛盾的产生。问题问题6:是否有几何意义?5一个神秘的矛盾我们将的分数阶导数写为现在让我们拿它与(6)式进行对比,看看他们是否一致。从Taylor级数来看,结合(6)式,我们得到如下表达式但是,(7)及(8)是不等价的,除非是整数。当是整数时,(8)式的右侧是的级数形式,只是用不同的表达方式。但是当不是整数时,我们得到两个完全

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