2016届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：排列与组合

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解排列组合的概念．2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3.能利用排列组合知识解决简单的实际问题.1.排列组合概念及排列数、组合数公式一般不单独考查．2.排列组合的应用问题是高考的热点内容，独立命题，题多为选择、填空题，如2012年陕西T8，安徽T10，辽宁T5等.[归纳·知识整合]1．排列与排列数公式(1)排列与排列数(2)排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m，n∈N*，m≤n)．(3)排列数的性质A＝n！；A＝1；0！＝1.[探究]　1.排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数

2、，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．2．组合与组合数公式(1)组合与组合数(2)组合数公式C＝＝(m，n∈N*，m≤n)．(3)组合数性质①C＝1；②C＝C；③C＝C＋C.[探究]　2.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[自测·牛刀小试]1．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是(　　)A．123　　　　　　　　B．312C．AD．12＋11＋10解析：选C　从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A种不同的获奖情况．2．异

3、面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是(　　)A．20B．9C．CD．CC＋CC解析：选B　分两类，第一类在直线a上任取一点与直线b可确定C个平面；第二类在直线b上任取一点与直线a可确定C个平面．故可确定C＋C＝9个不同的平面．3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有(　　)A．252种B．112种C．20种D．56种解析：选B　不同的分配方案共有CC＋CC＋CC＋CC＝112种．4．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．解析：(间接法)共有

4、C－C＝34种不同的选法．答案：345．如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有________种．解析：M，N，P，Q共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有C＝20种方法，减去不合题意的4种．则不同的方法有16种．答案：16排列问题[例1]　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[自主解答]　(1)问题即为从7个元素中选出5个全排

5、列，有A＝2520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A·A·A＝288种．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故N＝A·A＝1440种．(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A＝5种排法；再安排其他人，有A＝720种排法．所以共有A·A＝3600种排法．本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，

6、有多少中排法？解：(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故有N＝A·A＝720种．　　　　———————————————————解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7

7、)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．1．一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法(　　)A．450　　　　　　　　B．460C．480D．500解析：选C　先排老师有A种排法，剩下同学有A种排法．共有AA＝480种排法．2．排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔