精算师概率论资料

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1、十二.概率与统计概率来自赌博及其他“未知”事件的预估．丢骰子，我们猜1，2，3，4，5，6出现的百分率为，猜得对不对永远得不到证明，例如掷次，得，其中，若第次掷得“1”，我们取；掷不到1，取．这样，便是所得“1”的比．时，不可能等于；“”只能是我们心中的“信度”：预期趋向无限大时，趋向．只是吾生有涯，骰生亦有涯，这样的预期不可能得到证明，况且，可能有人做了手脚，使充分大时，逼近，而．另外，如果骰子已掷，我用手盖住，偷看，知是2；你没看到，说1的机会或概率是．不仅掷骰子，考试成绩、生意盈亏、天气冷暖及领导民望都可估计，但不一定“准”：有测量或度量误差

2、(measurementerror)和概率风险或误差(probabilityrisk或errors)．游子情主角子青曾在赌城拉斯威格斯（LasVegas）时间：他与未婚妻梅芳白首偕老的机会大，还是赌大小赢的机会大？这个问题有趣兼可悲．七年后，真相大白，梅芳染上七年之痒，要离开他，能不能白首偕老不再是概率问题，赌大小则仍是概率问题：例：掷两个公平的骰子，计算得大、小的机会．解：定义概率(probability)或样本(sample)空间(space)是可能的结果，的子集为事件(event)，并用表示的元素数．现在，，20得大的事件为，有15个元素：（

3、例如）．设中各结果发生的概率相等：每个出现的概率都是.故出现的概率为，小于．在赌场上，赌大小一赔一，因此，赌客每赌一次在机会上都吃小亏，但往往赌本及赌注上限比“机会”更重要．将赌注加倍再赌，小赢的机会增加，大输的机会也增加，输到没钱不能再赌，因此有钱人比较化算．赌场赌大小设上限，用来保护庄家．那天，上限未到，子青已无力再赌．任何一个概率（probability）都满足：（这里样本空间是有限集合）；　　　　　（1）；　　　　　　　（2），，，（3）其中是空集（不含任何元素），表示并(union)，表示交(intersection)：或，及．例：证明，

4、，20．（4）证明：回顾集关于集的余集(complement)是．因（用）及（用）相加，得，即．一般的情形可用数学归纳法证．证毕．学问：有对夫妻，各妻子扔一手帕，成堆，丈夫随意检回，至少有一人检回妻子扔的手帕的概率是多少？学答：设为丈夫检回自己妻子手帕的概率，则答案为．视手帕为个位置，用上公式的符号得，，，20，，故由（4）得．有些人觉得当人数增大时，答案会向零逼近．理论上，因，，大于63%．如果，我们说独立．一般地，如果在事件中，任选，，都有，则我们说独立(independent)或随机独立(stochasticallyindependent)．

5、例：掷两个公平铜板，以H表正面，T表背面，则样本空间为：．设，，．因骰子是公平的，故对任一个S的元素，或：及．20故，，，，，，．所以两两独立，但不独立．这说明了三个事件间的关系异于两个事件间的关系．概率模型(probabilitymodel)建筑在已知的事件上．有时事件必须伴着另一事件发生，其中已知或未知；这样，我们应计算发生的概率．为保持的概率为1，我们单位化条件所引发的概率：，容易证明是概率，即满足(1)—(3)．为强调与相关，记为，而叫为在条件下的概率；叫为下的条件概率(conditionallyprobability)．如果独立，易证．习

6、题：用归纳法证（5）其中.学问：瓮含五绿珠，两黄珠；瓮含三绿珠，六黄珠．请君入瓮，拿一珠，看到是黄色．假设一切动作都是随机的，问珠来自的机会？学答：设选到瓮，选到瓮，选到黄珠．问题是：20如果给出，容易计算，：，．我们得想法将条件转为条件：（）（用性质（3））．因，故．答毕．由上面字里行间的理得：贝氏法则：设，，各，且,,…两两不相交，则．前式里，,,…的秩序是任意的，因此容易(或不必)写出的公式，．注：贝氏即Rev.ThomasBayes(1702—1761)．回到赌大小上，子青在赌博时凝神注视看和；它是一个在集上的实函数：，．20样本空间上的实

7、函数都叫随机变量(randomvariable)，它与一般函数不同的地方在于它对应一个概率函数(probabilityfunction)或：，，其中是事件的缩写．搏彩时，庄家经常宣传时得奖，但不宣传对应的机会．我们定义的平均值(mean)或期望值(expectation)或：各的和．（6）易证各的和．（7）为度量与平均值的差，我们引或；并叫它作的标准差(standarddeviation)，叫为的方差或变差(variance)，记作：各的和．（8）易证．（9）或更一般地，，．（10）如果我们用去估计，那么，叫偏倚或偏度(bias)．如果我们叫为平均

8、误差(meansquareerror)或矛盾(contradiction)，那么，相当于：平均误差=方差+偏度平方．因而起