数列极限和数学归纳法练习(有 答案)

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1、数列极限和数学归纳法一、知识点整理：数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比当时无穷等比数列前项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。1、理解数列极限的概念：等数列的极限2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广3、常见数列的极限：4、无穷等比数列的各项和：数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题（1）、证明恒等式和整除问题

2、（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明能被64整除，）），证明的目标非常明确；（2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。二、填空题1、计算：=_____3_____。2、有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为.3、4、数列的通项公式，前项和为，则=_____________.5、设是公比为的等比数列，且，则　3　　．6、在等比数列中，已知，则_______.7、数列的通项公式是，则=_______.8、已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，

3、，则的值为.9、设数列满足当（）成立时，总可以推出成立．下列四个命题：（1）若，则．（2）若，则．（3）若，则．（4）若，则．其中正确的命题是（2）（3）（4）.（填写你认为正确的所有命题序号）10、将直线：，：，：（，）围成的三角形面积记为，则___________．11、在无穷等比数列中，所有项和等于2，12、设无穷等比数列的公比为q，若，则q=_______13、已知点，，，其中为正整数，设表示△的面积，则___2.5________．14、下列关于极限的计算，错误的序号___（2）___．（1）==（2）（++…+）=++…

4、+=0+0+…+0=0（3）（－n）===；（4）已知=（15）已知是定义在实数集上的不恒为零的函数，且对于任意，满足，，记，其中．考察下列结论：①；②是上的偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列.其中正确结论的序号有①③④．二、选择题：16、已知,,若，则的值不可能是…………（（D））（A）.（B）.（C）.（D）.17、若存在，则的取值范围是（（A））（A）或；（B）或；（C）或；（D）观察下列式子：，可以猜想结论为((C)).(A)；(B)(C)；(D)19、已知，是数列的前n项和（(A））(A）和都存在；(B)和都不存在

5、。(C)存在，不存在；(D)不存在，存在。20、设双曲线上动点到定点的距离的最小值为，则的为（(A））（A）（B）（C）0（D）1三、综合题：21、在数列中，。（1）求（2）猜想数列的通项公式，并证明你的结论。(1);(2)22、已知数列满足，双曲线。（1）若，双曲线的焦距为，，求的通项公式；（2）如图，在双曲线的右支上取点，过作轴的垂线，在第一象限内交的渐近线于点，联结，记的面积为。若，求。（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若，则。）29.（1）；（2）数列综合题1.定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则

6、称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.(1)已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；(2)已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列。解：(1)显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列．因为k>1，显然有，由得，解得.所以当时，是数列的“保三角形函数”.(2)由得,两式相减得所以，，经检验，此通项公式满足显然，因为，所以是“三角形”数列．1.已知数列的前项和为，，（为正整数）.（1）求数列的通项

7、公式；（2）记，若对任意正整数，恒成立，求的取值范围?（3）已知集合，若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为，问是否存在实数a使得对于任意的.若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.23．(1)由题意知，当时，两式相减变形得:又时，，于是………………1分故是以为首项，公比的等比数列…………………4分(2)由得=…………5分当n是偶数时，是的增函数，于是，故……7分当n是奇数时，是的减函数，因为，故k≤1．……………………9分综上所述，k的取值范围是…………10分（3）①当，，若此不等式组的解集为空集.即当a.……13分②

8、当而是关于n的增函数.且…………15分因此对任意的要使解得……………18分1.已知抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续。一般地，过点作斜率