振型分解反应谱法

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1、附录一振型分解反应谱法 图（1）振型分解反应谱法作为弹性多自由体系的主要分析方法，很有必要对振型分解反应谱法有充分的了解。本文仅作为大家参考之用，如有理解上的错误或者不当，敬请谅解。1、单自由度体系在地震作用下的运动如图（1）所示，根据达朗贝尔原理有：（1）也即：（2）方程两边同时除以，可化为：（3）式中，，令，为体系阻尼比。2、多自由度体系在地震作用下的运动类似于单自由度体系分析过程，体系运动方程为：（4）无阻尼体系自由振动时，，，上式即为：（5）根据方程解的特征，设其解的形式为：（6）代入（5）式有：（7）由于则（8）另外，，故特

2、征方程为：（9）由（9）式可以求出，进而可以求得各阶振型对应的圆频率，再代入（8）式可求对应于各个的特征向量，即为振型。振型：多自由度体系自由振动时，各质点在任意时刻位移比值是一定的，不随时间-15-变化，即体系自由振动过程中形状保持不变。振型是结构形状保持不变的振动形式，振型的形状是唯一的。个自由度的体系具有个振型。则结构的变形总可以表示成这个振型的线性组合：（10）其中称为正则坐标。3、振型的正交性由于（11）则（12）（12）式两边同时左乘，，得到：（13）同理，，该式两边同时转置一次，得到：（14）（13），（14）两式左右对

3、应相减，得到：（15）因为所以（16）同理亦有（17）即所说的振型关于质量和刚度矩阵满足正交性质。对于阻尼：根据瑞雷阻尼的基本假定，若用矩阵形式表达，即：（18）由于该式是线性表达式，根据前面推导的振型正交性质，可以得出：（19）但要注意的是，体系振型关于质量和刚度矩阵满足正交性质是无条件的，而振型关于阻尼矩阵满足正交性质却是有一定条件的，阻尼不满足正交的情况下就不能在理论上严格的对结构进行振型分解来求解。3.1振型正交性质的物理意义①振型关于质量矩阵的正交性：第阶振型的惯性力在经历第阶振型时所做的功为0；②振型关于刚度矩阵的正交性：

4、与第阶振型位移有关的弹性力在经历第阶振型时所做的功为0；③总体来说就是各个振型按照自己的规律振动，而相互之间没有干扰，从而为把方程求解分解成按各个振型分别求解提供了可能。-15-4、具有经典阻尼的多自由度体系在激励下的反应这种荷载形式是一个固定的分布向量乘以常数，具有振型类似的特征，但是实际结构是很少会受到这种形式的荷载作用，但它对于后面要进行的地震作用下的响应分析是有重要作用的。4.1运动方程求解（后面与等参数都是表示向量）图（2）如图（2）所示，得到体系的平衡方程：（20）由公式（10），把代人，则：（21）方程前乘，根据振型的正

5、交性质，上式可化为：（22）其中称为广义质量称为广义阻尼称为广义刚度上式两边同时除以，由，并另得到：（23）令，称为振型参与系数。则（23）式化为：（24）图（3）是一个与振型正则化方式(即的取值)及荷载分布向量有关的一个量，它反映了外部激励对振型的影响程度。比如具有的形式，根据正交性，说明这种荷载只会引起第个振型的反应，而不会引起其他振型的反应。令：，则（24）式可变为：-15-（25）该方程是如图（3）的一个标准的单自由度体系的运动微分方程，求解微分方程得到。4.2求激励下的效应对应于此刻第阶振型的位移，则如图（4）所示，对应于此

6、时变形的弹性恢复力为：（26）图（4）令，称之为振型贡献，且，则（26)式可写为：（27）是一个阶列向量，是个常量，与结构特性及荷载作用方式都有关，而与振型的正则化方式无关。那么为一个静力部分与动力部分的组合，作用在自由度上的由与的乘积决定，则在作用下的效应也可以表示为由作用下的效应经动力放大后的总效应，而这个弹性恢复力是用来计算结构各种反应效应的直接量。图（5）如图（5）所示，为在作用下对应于结构需要求的作用效应值，可以是弯矩、剪力，位移等，则经动力放大后得到该效应的动力反应时程，可表示为：（28）那么总的效应可以表示为：（29）总

7、静力效应：（30）令：（31）称为振型贡献系数，则第阶振型的效应可表示为。4.2.1对性质的讨论①是个无量纲的物理量，对于不同的反应量取值是不同；-15-②与正则化方式无关，，，上下有两个，的影响被约去；③；④有正有负，所以只计算前几个振型并不一定都是小于总效应的，也可能偏大的估计了荷载的作用效应。4.2.2振型贡献系数与振型参与系数的区别是一个与振型正则化方式无关而与结构特性和激励分布特性有关的量，是衡量各振型对反应量最直观的参数，虽然它不包括动力部分，不能精确反映振型对反应的贡献，但已经能够表现各振型反应的相对大小。4.2.3位移

8、也是作用下的一种效应（32）这与之前的的表达式是相同的，说明效应的表达式具有广泛的适用性。5、具有经典阻尼的多自由度体系在地震激励下的反应图（6）如图（6）所示，以地面为参考系，则各质点受到的惯性力为，它的分布与质量有关