微分几何向量函数讲义与教案

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1、第一章曲线论1、向量函数向量函数的极限、连续、微商、积分2、曲线的概念曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。3、空间曲线3、1空间曲线的密切平面3、2空间曲线的基本三棱形3、3空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3、4空间曲线在一点邻近的结构3、5空间曲线的基本定理3、6一般螺线内容提要引言曲线与曲面的微分几何包括两个方面，其中一方面是随微积分的出现而开始的，这部分可以称为经典的微分几何，粗略地说,经典微分几何是研究曲线与曲面的局部性质的，即仅取决于曲线与曲面在一点邻近的行为的哪些性质。另一方

2、面是整体微分几何，这部分研究局部性质对整个曲线和曲面的行为的影响。经典微分几何最有趣和最有代表性的部分是曲面的研究，然而在研究曲面时，自然会出现曲线的某些局部性质，因此我们将在第一章先介绍曲线以及曲线的性质，再在第二章研究曲面。研究方法：向量分析，张量分析，活动标架法。向量代数复习一、向量的概念1、向量的定义。2、向量的表示3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量）4、向量的坐标。二、向量的运算（几何意义）1、加减法：2、数乘：3、内积：4、外积：5、混合积：6、二重向量积：7、Lagr

3、ange恒等式8、模：方向余弦：四、运算规律、几个充要条件1、2、3、三、几种运算的几何意义第一节向量函数向量函数的概念：给出一点集G，如果对于G中的每一个点，有一个确定的向量和它对应，则说在G上给定了一个向量函数，记作例如设G是实数轴上一区间，则得一元向量函数设G是一平面域，，则得二元向量函数设G是空间一区域，，得三元向量函数1、定义设是所给的一元函数，是常向量，如果对任给的，都存在数，使得当时,有成立，则说当时，向量函数趋向于极限，记作1、1向量函数的极限2、向量函数的性质如果和是两个一元函

4、数，是一个实函数，并且当时，有则有证明（2）由得(4)注意（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。（2）数乘向量的极限等于极限的乘积。（3）数量积的极限等于极限的数量积。（4）向量积的极限等于极限的向量积。1、2向量函数的连续性1、给出一元向量函数，当tt0时，若向量函数,则称向量函数在t0点是连续的。也有3、命题2如果和是在点t0连续的向量函数，而是点t0连续的实函数，则向量函数和实数也都有在t0点连续（把命题中的点t0改为区间[t,t0]时，命题材也成立）。2、如果在闭区间[t1,t

5、2]的每一点都连续，则称在区间[t1,t2]上是连续的。1、3向量函数的微商1、设是定义在区间[t1,t2]上的向量函数，设，如果极限存在，则称在t0点是可微分的，这个极限称为在t0点的微商（或导矢）。记为即如果在某个开区间的每一点都有微商存在，则说在此区间内是可微的或简称向量函数是可微的，它的微商记为2、命题3设分别是可微的向量函数，是可微的实函数，则都是可微函数，并且3、向量函数的微商仍为t的一个向量函数，如果函数也是连续和可微的，则的微商称为的二阶微商。类似可定义三阶、四阶微商。如法则3证

6、明5、任一向量函数与三个实函数一一对应，即有证明将两边点乘得由于是常向量，而是类的，所以x(t)是类函数同理，是类函数。命题4如果向量函数在上是类函数，则向量函数所对的三个实函数在上是类函数。4、在区间[t1,t2]上有直到k阶连续微商的函数称为这区间上的k次可微函数或类函数，连续函数也称为类函数，无限可微的函数记为类函数。解析函数记为类函数。1、4向量函数的泰勒公式2、当时，我们可以把它展成泰勒级数3、如果，则上述泰勒级数是收敛的。1、定理设向量函数在上是类函数，则有泰勒展开式其中时证明1、5

7、向量函数的积分1、定义如果向量函数是可积的，则有2、命题5如果向量函数是区间[a,b]上的连续函数，则积分存在，并且（1）当a

8、量函数对于变量t的旋转速度。命题7单位向量函数对于t的旋转速度等于其微商的模证明如图所以