第112讲 材料力学(八)(2010年新版)

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1、弯曲变形粱的挠度与转角（一）挠曲线在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。在平面弯曲下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)(见图5-8-1)。（二）挠度与转角梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括三部分：1.挠度梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，记作v。沿梁轴各横截面挠度的变化规律，即为梁的挠曲线方程。v=f(x)2．转角横截面相对原来位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作θ。小变形情况下，3．此外，横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。(三)挠曲线近似微分方程在线弹性范围、小变形条件下，

2、挠曲线近似微分方程为上式是在图5—8—l所示坐标系下建立的。挠度w向下为正，转角θ顺时针转为正。积分法计算梁的位移根据挠曲线近似微分方程(5—8—1)，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程，即由6页式中积分常数C、D，可由梁的边界条件来确定。当梁的弯矩方程需分段列出时，挠曲线微分方程也需分段建立，分段积分。于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。为了确定全部积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的连续条件(在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等)。用叠加法求梁的位移（一）叠加原理几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。

3、（二）叠加原理的适用条件叠加原理仅适用于线性函数。要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满足：1．材料为线弹性材料；2．梁的变形为小变形；3．结构几何线性。（三）叠加法的特征1．各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。2．梁在简单荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。3．叠加法适宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。[例5—8—1]用积分法求图5—8—3所示各梁的挠曲线方程时，试问应分为几段?将出现几个积分常数?并写出各梁的边界条件和连续条件。6页[解](a)挠曲线方程应分为两段，共有四个积分常数。边界条件为连续条件为(b

4、)挠曲线方程应分为两段，共有四个积分常数。边界条件为式中K为弹簧的刚度。连续条件为6页(c)挠曲线方程应分为两段，共有四个积分常数。边界条件为连续条件为分析与讨论(1)凡荷载有突变处、有中间支承处、截面有变化处或材料有变化处，均应作为分段点。(2)中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点。(3)各分段点处都应列出连续条件。根据梁变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角值。在中间铰处，虽然两侧转角不同，但挠度却是唯一的。[例5-8-2]试用叠加法求图5-8—4所示外伸梁外伸端C点的挠度vc和转角θC。6页[解]将荷载分解为b)、(c)

5、、(d)三种情况，每种情况下的转角、挠度可查表得到：由叠加原理：第九节　应力状态分析和强度理论应力状态的概念（一）一点的应力状态通过受力构件内一点的所有截面上的应力情况称为一点的应力状态。（二）一点的应力状态的表示法——单元体围绕所研究的点，截取一个边长为无穷小的正六面体，用各面上的应力分量表示周围材料对其作用。称为应力单元体。特点：1．单元体的尺寸无限小，每个面上的应力为均匀分布。2．单元体表示一点处的应力，故相互平行截面上的应力相同。（三）主平面、主应力、主单元体主平面单元体中剪应力等于零的平面。主应力主平面上的正应力。6页可以证明：受力构件内任一点，均存在三个互相垂直的主平面。

6、三个主应力用σl、σ2和σ3表示，且按代数值排列即σl>σ2>σ3。主单元体用三对互相垂直的主平面取出的单元体。（四）应力状态的分类根据主单元体上三个主应力中有几个是非零的数值，可将应力状态分为三类：1．单向应力状态只有一个主应力不等于零。2．二向应力状态有两个主应力不等于零。3．三向应力状态三个主应力都不等于零。单向应力状态又称为简单应力状态，二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。单向及二向应力状态又称为平面应力状态。6页