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1、《数学建模》实验报告实验一：matlab函数拟合学时：4学时实验目的：掌握用matlab进行函数拟合的方法。实验内容：解：问题分析制定“2秒准则”是为了在后车急刹车的情况下不致撞上前车，即要确定汽车的刹车距离。显然，刹车距离与车速有关。刹车过程分为两个阶段，第一阶段：司机反应阶段，是指从司机决定刹车到制动机开始起作用，这个阶段时间内汽车行驶的距离称为反应距离；第二阶段：从制动机开始起作用到汽车完全停止行驶，这个阶段称为制动阶段，在这阶段时间内汽车行驶的距离称为制动距离。因此，刹车距离=反应距离+制动距离。反应
2、距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况和制动机的灵敏性，对于一般规则可以视反应时间为常数，且在这段时间内车速未改变。制动距离与制动器作用力、车重、车速以及道路、气候等因素有关，制动器是一个能量耗散装置，制动力做的功被汽车动能的改变所抵消。对于一般规则又可以看做固定的。模型假设基于上述分析，做以下假设：1）刹车距离为，反应距离为，制动距离为，且刹车距离等于反应距离与制动距离之和，即.2）反应距离为与车速为成正比，比例系数为反应时间.3）刹车使用最大制动力,作的功等于汽车功能的改变，且与车的质量成正
3、比，即.模型建立由假设2，（1）第23页共23页由假设3，在的作用下行驶了距离所作的功为使车速从变成0，动能的变化为，有，又，即，由牛顿第二定律知，刹车时的加速度为常数，于是（2）而实际上，.由假设1，刹车距离为（3）模型求解用matalb函数拟合法求解.建立M函数f1.m：functiony=f1(k,v)y=k(1).*v+k(2).*v.*v;在matalb窗口中输入：>>v=[20,40,60,80,100,120,140]./3.6;>>y=[6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118.
4、0,153.5];>>k=lsqcurvefit(@f1,[20,140],v,y)Optimizationterminated:relativefunctionvaluechangingbylessthanOPTIONS.TolFun.k=0.65220.0853得到二次拟合多项式.即模型应用根据经验估计，我们可以认为反应时间=0.6522秒是合理的，刹车时间.按照上述模型可以将“2秒准则”修正为t秒准则，即后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒后到达同一标志。车速（km/h）204060801001201
5、40计算刹车距离（m）6.256017.777534.564456.616883.9346116.5178154.36641.12611.60002.07392.54783.02163.49553.9694第23页共23页刹车时间（秒）后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志，t由下表给出：车速(km/h)0—1010-6060—100100-140t(秒)1234可见，2秒是相对的，即所谓的“2秒准则”是不合理的，刹车时间与车速有关，应根据车速来确定刹车时间。实例2：根据美国人口从1790年到
6、1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型（Logistic模型）中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。表1美国人口统计数据年份1790180018101820183018401850人口(×106)3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口(×106)31.438.650.262.976.092.0106.5年份193019401950196019701980人口(×106)123.2131.715
7、0.7179.3204.0226.5解：问题分析最简单的人口增长模型：记今年人口为，年以后人口为，年增长率为，则（1）其中年增长率保持不变.模型建立记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数，我们将视为连续、可微的函数，记初始时刻的人口为，假设人口年增长率为常数.考虑到时间内人口的增量，显然，有令，得到满足微分方程，（2）由方程（2）解得（3）时（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型.第23页共23页当人口增长到一定数量后，由于自然资源、环境条件等因素对人口的
8、增长起着阻滞作用，人口增长率就会下降，且随着人口的增加，阻滞作用越来越大.。所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用于体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降，若将r表示为x的函数r(x),则它应是减函数。于是方程，。对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即。这里称固有增长，表示人口很少时（理论上是）的增长。为了确定系数的意义，引
