半参数模型及其在形变分析中的应用

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1、半参数模型及其在形变分析中的应用导读：就爱阅读网友为您分享以下“半参数模型及其在形变分析中的应用”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!第２９卷第５期２００４年１０月测绘科学Ｓｃｌｅｎｃｅｏｆｖ０１．２９№．５ＯｃｔｓｕｒｖｅｙｉｎｇａｎｄＭａｐｐｉ“ｇ半参数模型及其在形变分析中的应用丁士俊。陶本藻（武汉大学测绘学院，湖北武汉４３００７９）【摘要】半参数回归模型Ｌ＝Ｂｚ＋ｓ＋Ｅ是线性模型与非参数回归模型的混合体。本文采用自然样条逼近方法，探讨了自然样条半参数回归分析方法，同时将此方法运用到形变分析与预报数据处理中，结果表明是一种有效的方法。半参数回归效

2、果要优于参数回归，多项武参数回归的残差平方和远大于参数回归。【关键词】半参数回归；自然样条；曲线拟合；补偿最小二乘；模型误差；形变分析与预报【中图分类号】Ｐ２０８【文献标识码】Ａ11【文章编号】１００９２３０７【２００４）０５００３８—０３㈣言在处理实际问题时，影响观测值取值的因素很多，建立数学模型时往往无法考虑到所有的这些因素。观测值与参数之间的函数关系可能比较复杂，为了方便起见，人们经常选择较为简单的线性函数关系来代替。因此，数据处理中建立的函数模型通常是对实际问题的近似表达。当存在模型误差时，若模型误差与偶然误差相比是一个微小量，所略模型误差不会对参数估值产生太大

3、的影响，当模型误差的存在较为明显不能忽略时，会对参数估值产生较大的影响，为了给补线性回归一般拟台效果较差的缺陷．统计学界提出了一种所谓的偏线性回归模型（Ｐａｒ【“ｌｉｎｅａｒ数部躺补翩，【警鬻：乏篙笔絮题：《ｙ＝越＋；＋Ｌ恤’式中第一式前一项是残差平方和．后一项即补偿项。Ｒ是～个适当给定的正定（或半正定）矩阵，称为正规化矩阵，二次型补偿项≯越反映了对向量；的某种度量；ｎ是一个纯量因子，在极小化过程中对ｙ和；起平衡作用．称为光滑因子（或光滑参数）。从数学上说，自然样条函数是一分段多项式。具体地说，对所考察的区间［ｎ，６］作一分划：Ａ：。＝ｆｌ＜￡２＜…＜ｔ。＝６．设ｓ（≠

4、）为子区间［｝，，￡川ｊ（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ一１）上＾多次多项式，每个节点ｆ，上具有直到女一１阶连续导数．则称为11分段＾次多项式５（ｔ）为＾次样条函数，在实际应用，最常用的样条函数为三次自然样条函数，假设ｓ（￡）为区间［￡１，ｆ。］上的三次自然样条插值函数，可以证明【４儿７’ｒｒｌｏｄｄ）．又称为半参数回归模型（ｓ日ｎｉｐ蛳ｔ＾ｃｍｏｄｅｌ）…［３］［“，其模型形式为：Ｌ＝赶ｘ＋ｓ（ｆ）十８式中ｒｅｇｒｅｓｓｌｏｎ（１ａ）Ｅ（￡）＝０，Ｅ（Ｅ禹）＝０，Ｄ（Ｅ）＝ｄｊＰ‘＝ｄ；Ｑ（１ｂ）Ｊ＝（ｚｌ，。２，…，ｚ４）１为参数向量．丑膏为主要影响ｌ（ｓ”（ｆ））２ｄｆ＝盎１

5、ｍ（３）项，与Ｌ的关系已知的，表现为线性关系，即可通过经验或数学关系式用参数来表达，而且是观测量的主要的影响项，适合外延预测；Ｊ（￡）：（ＪＩ，５２，…，岛）１为模型未参数化的部分，与Ｌ的关系完全是未知的，也称为非参数部分；ｏ＝（ｅ．，其中Ｒ＝ＦＧ＿１Ｆ１，Ｆ与ｃ是”×（ｎ—１）与（ｎ一１）×（ｎ一２）维带状矩阵，令＾，＝ｆ…一ｆ。，ｉ＝１，…，ｎ一１，则Ｆ矩阵元素＾．满足Ｅ∥．－，ｅ。）１为误差向量。在形变分析中，一般可以把形变数据成某种时间序列．采用时间序列方法对形变数据进行分析。在文献［１３］中，同样采用了与模型（１）相同的数学模型，把变形序列看成厶＝町１；‘¨，

6、＝一（＾ｊ１＋＾二１）；‘％，＝＾二ｌ；Ｊ＝ｌ，…，ｎ一２，11，．＝０ｌ—ＪＩ≥２Ｇ矩阵元素ｇ，，满足ｇ。；＝（＾，＋＾ｍ）／３，ｉ＝１，…，ｎ一２，＆，＋ｌ＝＾，＋１／６；ｉ＝１，…，ｎ一３毋ｒｊ＝＾，／６；ｉ＝２，’’，ｎ一２譬。＝Ｏ；ｌ由趋势项ｍ、周期项ｓ、观测误差Ｅ三部分组成，采用数学方法分离趋势项与周期项，然而趋势项与周期项相互影响的，如果趋势有误差，对于提取周期项会造成较大的影响。因此为了解决问题，建立采用半参数模型进行处理，半参数的模型的最大优点在于即使参数项表述模型不准确．但可以用非参数项来加以弥补。基于此思想，把半参数模型运用在变形分析中，最后通过一

7、实例加以分析。ｉ—Ｊ【≥２我们知道一个函数当其一阶导数较小时，其二阶导数与其曲率值是很接近的，而曲率小，在几何上理解为“平滑”［住］，所以可由第二项来刻画ｓ（ｆ）的光滑程度。口＞Ｏ称为平滑参数，起在拟合程度和光滑程度之间的平衡作用，如果拟合程度要求较高，则其光滑程度较差，反之亦然，因此要合理选择ａ。根据补偿最小二乘原理，则（２）式满足２自然样条半参数估计半参数估计方法很多，与经典平差较接近是采用补偿最小二乘原理，在最小二乘法的目标函数上增加一个非参收稿日期：２００４一０５—２０基金项目：国家自然科学基金项目（栅７４００５）万　11方数据｛