概率论与数理统计知识要点

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1、《概率论与数理统计》复习资料知识要点一概念：1随机事件：用等表示互不相容：互逆：且，此时，互逆互不相容，反之不行相互独立：或2随机事件的运算律：(1)交换律：(2)结合律：(3)分配律：(4)DeMorgen律（对偶律）推广：3随机事件的概率：有界性若则条件概率4随机变量：用大写表示.若与相互独立的充分必要条件是若与是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是若与是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是-14-《概率论与数理统计》复习资料若与不相关，则或独立不相关反之不成立当与服从正态分布时，则相互独立不相关二两种概率模型古典概型：所包含的基本事件的个数；总的基本事

2、件的个数伯努利概型：次独立试验序列中事件恰好发生次的概率次独立试验序列中事件发生的次数为到之间的概率次独立试验序列中事件至少发生次的概率特别的，至少发生一次的概率三概率的计算公式：加法公式：若互不相容,则推广：若，互不相容，则乘法公式：或若相互独立，推广：若它们相互独立，则全概率公式：若为随机事件，互不相容的完备事件组，且则注：常用作为互不相容的完备事件组-14-《概率论与数理统计》复习资料有诸多原因可以引发某种结果，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和，这样的概率问题属于全概问题.用全概率公式解题的程序：（1）判断所求解的问题是否为全概率问题（2）若是全概率

3、类型，正确的假设事件及，要求是互斥的完备事件组（3）计算出（4）代入公式计算结果四一维随机变量：分布函数：性质：（1）（2）若，则（3）右连续（4）即即（此性质常用来确定分布函数中的常数）利用分布函数计算概率：一维离散随机变量：概率函数：（分布律）性质：（此性质常用来确定概率函数中的常数）已知概率函数求分布函数一维连续随机变量：概率密度性质：（1）非负性（2）归一性：（常用此性质来确定概率密度中的常数）分布函数和概率密度的关系：-14-《概率论与数理统计》复习资料（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）利用概率密度求概率五一维

4、随机变量函数的分布：离散情形：列表、整理、合并连续情形：分布函数法.先求的分布函数，再求导六二维随机变量：联合分布函数：性质：（1）（2）（3）（4）（此极限性质常用来确定分布函数中的常数）边缘分布函数：二维离散随机变量：联合概率函数列表边缘概率函数：二维连续随机变量：联合概率密度性质（1）（2）（常用此性质来确定概率密度中的常数）联合分布函数与联合概率密度的关系（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）利用联合概率密度求概率已知联合概率密度求边缘概率密度（注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）-14-

5、《概率论与数理统计》复习资料七随机变量的数字特征：若为离散随机变量：若为连续随机变量：二维情形若为二维连续随机变量，则若为二维离散随机变量，则随机变量的函数的数学期望：若为离散随机变量：若为连续随机变量方差：定义方差的计算公式：注意这个公式的转化：关于期望的定理：关于方差的定理（1）（1）（2）（2）（3）相互独立：（注意：反之不成立）相互独立（注意：反之不成立）-14-《概率论与数理统计》复习资料八要熟记的常用分布及其数字特征：分布二项分布泊松分布均匀分布：指数分布：正态分布：特别地（）九正态随机变量线性函数的分布十统计部分：统计量无偏性有效性矩估计最大似然估

6、计区间估计假设检验-14-《概率论与数理统计》复习资料例：甲袋中有5只红球10只白球，乙袋中有8只红球6只白球，现先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋.求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率.解：设：从甲袋中取出放入乙袋的是红球，：从乙袋中返还甲袋的是红球,:这一个来回后甲袋中红球数不变，则从而.例高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为，又若敌机中一弹，其坠落的概率为，若敌机中两弹，其坠落的概率为，若敌机中三弹，则必然坠落。求敌机被击落的概率。解：设事件表示敌机被击落，事件表示敌机中弹。则所以，例：设的

7、分布函数求解：当时，当时，在处导数不存在，但规定为零-14-《概率论与数理统计》复习资料例：设连续随机变量的概率密度求：解：（1）(对称性质)由得：（2）当时，当时，当时，（3）或-14-《概率论与数理统计》复习资料例：，求的密度函数解：当时，当时，例：设随机变量的概率密度为求：(1),(2)解：（1）(2)设随机变量的概率密度为-14-《概率论与数理统计》复习资料求常数的值；；（3）．解：（1）由知，解得.(2)(3),例：设随机变量的概率密度为，计算：（1）边缘概率密度（2）与是否相互独立？为什么？解（1）当时，当时，所以当时，当时，所以-14-《概率论与数

8、理统计》复习资料（2）因