概率论与数理统计知识要点

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1、概率论与数理统计知识要点1、一定条件下必然发生为确定现象。在个别试验中结果不确定，但在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象，称为随机现象。2、随机试验特点：1)可以在相同条件下重复进行。2)每次试验的结果可能不至一个，并且能事先明确试验的所有结果。3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。3、随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为S(Sample)。E的每个结果称为样本点。4、样本空间S是其自身的子集，每次试验中总是发生，称为必然事件。Φ为样本空间的子集，但其为不可能事件。5、概率论中，“事件发生”：设E的样本空间为S，A、B、Ak为S的子集。1)若A包含于B，即

2、指A发生必然导致B的发生。若A包含于B，B包含于A，即A=B，称事件A与事件B相等。2)事件A∪B为二者的和事件，当且仅当二者之一发生时，事件发生。类似的，为n个事件的和事件，其为可列个事件的和事件。3)事件A∩B为二者的积事件，当且仅当二者同时发生时，事件A∩B发生。其积事件也记为AB。4)事件A与B的差事件为A-B,属于A且不属于B。当且仅当A发生B不发生时，事件A-B发生。5)若，则称二者互不相容或互斥，6)A∪B=S且A∩B=Φ，则A与B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件。6、事件运算满足：交换律：结合律：分配率：德摩根率：7、频率：相同条件下进行n次实验，则事件A发生

3、的次数nA为事件A的频数，nA/n为A的频率，即(记)fn(A)=nA/n。频率具有如下基本性质：1。0≤fn(A)≤1；2。fn(S)=1；183。若A1到AK是两两互不相容事件，则8、概率：E是随机试验，S为其样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数，即(记)事件A的概率P(A)。1。非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0；2。规范性：对于必然事件S，有P(S)=0；3。可列可加性：设下列两两互不相容，即对于AiAj=Φ，i不等于j，有：概率性质：性质1P(Φ)=0；性质2(有限可加性)若A1到An是两两互不相容事件，则有性质3设A、B是两个事件，若A包含于B，则性质4对任一事件

4、A，P(A)≤1；性质5(逆事件的概率)对任一事件A，；性质6(加法公式)对任意两事件AB，有9、等可能概型(古典概型)1。特征:试验的样本空间包含有限个元素；实验中每个基本事件发生的可能性相同。2。等可能概型中事件A的概率计算公式：1810、条件概率1。定义：设A、B是两个事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的概率。非负性：对每一事件B，有P(B

5、A)≥0;规范性：对必然事件S，有P(S

6、A)=1；可列可加性：设B1，B2...是两两互不相容的事件，则有2。乘法定理设P(A)>0，则有P(AB)=P(B

7、A)P(A)，即乘法公式。P(ABC)=P(C

8、AB)P(B

9、

10、A)P(A)3。全概率公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1、B2、、、Bn为样本空间S的一个划分，且P(Bi)>0，则即全概率公式4。贝叶斯公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1、B2、、、Bn18为样本空间S的一个划分，且P(A)>0，P(Bi)>0，则即贝叶斯公式特别的，在全概率公式和贝叶斯公式中，取n=2时，公式分别为11、独立性设两事件AB，若满足P(AB)=P(A)P(B)则事件AB相互独立。1。设A、B是两事件，且P(A)>0。若A、B相互独立，则P(B

11、A)=P(B)，反之亦然。2。若A、B相互独立，则下列事件也相互独立3。设A、B、C是三个事件，若满

12、足等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称ABC相互独立。1812、设随机试验的样本空间为S=｛e｝。X=X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。1。某些随机变量，其全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，称为离散型随机变量。要掌握其统计规律，必须且只需知道X所有的可能取值以及取每一个可能值的概率。2。设离散型随机变量X所有可能取值为xk(k=1、2、...)X取各个可能值的概率，即事件｛X=xk｝的概率为P｛X=xk｝=pk,k=1、2、...即离散型随机变量的分布律

13、。也可如下表示Pk满足：pk≥0，k=1、2、...；；3。三种重要的离散型随机变量1)(0-1)分布随机变量X只能取0和1两个值。分布律如下：则称X服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布。其分布律也可写成2)伯努利试验、二项分布18设试验E只有两个可能结果：,则称E为伯努利试验。设P(A)=p(0