楚莹莹-090128-用牛顿插值多项式求函数的近似值

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1、课程设计（论文）题目:用牛顿插值多项式求函数的近似值学院:理学院专业:数学与应用数学班级:09-1学生姓名:楚莹莹学生学号:2009026228指导教师:李文宇2011年12月20日课程设计任务书学院理学院专业数学与应用数学学生姓名楚莹莹班级学号2009026228课程名称计算方法课程设计题目用Newton插值多项式求函数的近似值一、基本理论：基于差商及差商的基本性质，递推出牛顿插值多项式，和其余项公式。通过已知函数值，构造差商表求出插值函数。二、研究方法：通过已知数据，构造差商表，求出牛顿插值多项式，并编写Matlab程序，执

2、行结果即为函数的近似值。三、预期成果：给出的数据（插值节点的函数值），构造出差商表，通过程序的执行求出近似与被插函数的插值多项式，与函数在某点的近似值。四、参考资料：[1]李庆阳，白峰杉.数值计算原理.清华大学出版社，2000[2]陈辉，李文宇，张传芳.数值计算方法.哈尔滨工业出版社，2009[3]薛毅.数值分析与实验.北京工业大学出版社，2005[4]贾德彬.数值计算方法.中国水利水电出版社，2007五、时间安排：课程安排一周，分4次完成：第一次（1-2天）：上网搜查有关的资料，并开始考虑设计的方法。第二次（3-4天）：写论文

3、的前言、摘要、以及理论依据和问题描述部分。第三次(4-6天)：写论文的问题分析、求解计算以及程序内容及其说明部分。第四次（7天）：完成课程设计报告以及最后的审核和排版、打印等。指导教师（签字）：年月日专业负责人（签字）：年月日主管院长（签字）年月日前言许多实际问题都有用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的．虽然某个区间上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出上一系列点的函数值，这只是一张函数表．有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对

4、数表、平方根和立方根表等等．为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值．因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函数，用近似．通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项式）作为，并使对成立．这样确定的就是我们希望得到的插值函数．例如，在现代机械工业中用计算机等程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件个形曲线的某些型值点（,）（），加工时为近年第步走刀方向步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多

5、项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，由均差的递推公式给出了Newton插值公式，在增加一个插值节点后，只需计算新增插值节点带来的计算，而不必重新计算整个插值公式，这样大大节约了插值公式的计算量。目录摘要I1理论依据11.1均差(差商)定义11.2均差的基本性质11.3牛顿插值公式22问题描述33问题分析34程序内容及其说明44.1Newton基本插值公式44.2程序内容及Matlab演示54.2.1程序Ⅰ54.

6、2.2程序Ⅱ64.3龙格现象分析85结论与展望10摘要　插值法是利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。　　本文介主要绍了牛顿插值法，首先给出差商的定义及性质，由差商递推得到New

7、ton插值公式。在增加一个插值节点后，只需计算新增插值节点带来的计算，而不必重新计算整个插值公式。然而并不是插值节点越多越好，插值多项式随节点的增多而振动增多，反而不能更好的接近被插函数，这就是龙格现象。龙格现象从根本上否定了增多节点一提高插值多项式的次数来达到更好近似的可行性，从而产生了质的飞跃。关键词均差牛顿插值多项式龙格现象用Newton插值多项式求函数的近似值1、理论依据1.1均差定义利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将

8、发生变化，这在实际计算中是很不方便的，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式，其中为待定系数，可又插值条件确定．当时，．当时，，推得，······依此递推可得到．为写出系数的一般表达式，先引进如下均差定义．定义1.1　记为f的零阶均差，零阶均差的差商记为