数列求和专题含答案

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1、中深教育数列求和一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：[例1]已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得：=＝＝1－二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积：设…②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。∴[例4]求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与

2、等比数列{}的通项之积10中深教育设…………………………………①…………②①－②得∴三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）[例9]求数列的前n项和.10中深教育解：设，则＝

3、[例10]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：　∵∴数列{bn}的前n项和：＝＝[例14]在各项均为正数的等比数列中，若的值。解：设由等比数列的性质和对数的运算性质得：＝＝＝10五、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求之和.解：由于∴＝10中深教育＝＝＝数列求和练习1、（东莞市2015届高三）数列的前n项和为，数列是首项为a1，公差不为零的等差数列，且成等比数列．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证：10中深教育2（惠州市

4、2015届高三）已知递增等差数列中的是函数的两个零点．数列满足，点在直线上，其中是数列的前项和．（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．3、已知等比数列的前项和为，，，且，，成等差数列．求数列的通项公式；设数列满足，求适合方程的正整数的值．10中深教育4、（要用放缩法）已知数列的前项和为,若(),且.(Ⅰ)求证：数列为等差数列；(Ⅱ)设,数列的前项和为,证明:().10中深教育数列求和练习答案1、（东莞市2015届高三）数列的前n项和为，数列是首项为a1，公差不为零的等差数列，且成等比数列．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证：解：（1）∵，∴

5、当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．…………3分（2）当时，，……5分得又，，∴数列{}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列{}的通项公式为．………………7分，设公差为，则由成等比数列，得，解得（舍去）或，所以数列的通项公式为．（3）令，，………………11分两式式相减得，10中深教育∴，又，故．2（惠州市2015届高三）已知递增等差数列中的是函数的两个零点．数列满足，点在直线上，其中是数列的前项和．（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．【解析】（1）因为，是函数的两个零点，则，解得：或.………………………………………………..2分又等差数列递

6、增，则，所以…………………………….4分因为点在直线上，则。当时，，即.………………………………………………….5分当时，，即.………………..…6分所以数列为首项为，公比为的等比数列，即.…………….…7分(2)由（1）知：且，…………………………………...…8分则……………………………………………………...9分所以①②.……………………10分①-②得：.………12分10中深教育所以.或写.……………………14分3、已知等比数列的前项和为，，，且，，成等差数列．求数列的通项公式；设数列满足，求适合方程的正整数的值．1、解：（1）设数列的公比为，由，得．由，，成等差

7、数列，故，所以，得，故．…………………...………..2分解得，或（舍）．………………………….….………4分所以；……………………………6分（2）由（1）得，故，………………………………8分所以．…………………..………………9分．…………..……………11分10中深教育由题意得．.………………………..………….……13分解得，满足题意得．…………………………..………….……14分4、（要用放缩法）(Ⅰ)由题设,则，.当时，,两式相减得,……………………………………2分方法一：由，得，且.则数列是常数列，即，也即…………………………