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时间:2018-07-10
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1、对数函数图像及性质一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 底数则要>0且≠1真数>0对数的运算性质 当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么: (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M)(n∈R) (4)log(a^n)(M)=1/nlog(
2、a)(M)(n∈R) (5)换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A(b>0且b≠1) (6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)证明: 设a=n^x则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a) (7)对数恒等式:alog(a)N=N; log(a)a^b=b (8)由幂的对数的运算性质可得(推导公式) 1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)M^
3、(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(a^n)M^n=log(a)M,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M 4.log(以n次根号下的a为底)(以n次根号下的M为真数)=log(a)M, log(以n次根号下的a为底)(以m次根号下的M为真数)=(n/m)log(a)M 5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1对数与指数之间的关系 当a
4、>0且a≠1时,a^x=Nx=㏒(a)N对数函数 对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数图像总是通过(1,0)点。 (4)a大于1时,为单调增函数,并且上凸;a大于0小于1时,函数为单调减函数,并且下凹。 (5)显然对数函数无界。 对数函数的常用简略表达方式: (1)log(a)(b)=log(a)(b) (2)lg(b)=log(10)(b)
5、(3)ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质: 如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么: (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M)(n属于R) (4)log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)(n属于R) 对数与指数之间的关系 当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x log(a
6、^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)(n属于R) 换底公式(很重要) log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)=lnN/lna=lgN/lga ln自然对数以e为底e为无限不循环小数(约为2.718281828454590) lg常用对数以10为底常用简略表达方式 (1)常用对数:lg(b)=log(10)(b) (2)自然对数:ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828454590... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义 对数
7、函数的一般形式为y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:关于y轴对称、 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。性质 定义域求解:对数函数y=logax的定义域是{x︳x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(
8、2x-1)的定义域,需满足{x>0且x≠1}。{2x-1>0,x>1/2且x≠1},即其定义域为{x︳x>1/2且x≠1}值域实数集R 定点:函数图像恒过定点(1,0)。 单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸0
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