矩阵的合同,等价与相似

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1、矩阵的合同，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为。2、性质：（1）反身性：即.（2）对称性：若，则（3）传递性：即若，，则（4）若为矩阵，且，则一定存在可逆矩阵（阶）和（阶），使得.其中为阶单位矩阵.（5）设是两矩阵，则当且仅当3、判定：矩阵等价的充要条件：两个矩阵等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的阶矩阵，使由矩阵的等价关系，可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件：（1）矩阵与必为同型矩阵（不

2、要求是方阵）.（2）存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使得.（二）矩阵的合同：1、定义：两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得成立，则称A,B合同，记作该过程成为合同变换。2、性质：（1）反身性：任意矩阵都与自身合同.（2）对称性：如果与合同，那么也与合同.（3）传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4）数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.（5）复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：3、判定定义2设均

3、为数域上的阶方阵，若存在数域上的阶可逆矩阵，使得,则称矩阵为合同矩阵（若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件：(1)矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2)存在数域上的阶矩阵,（三）矩阵的相似1、定义：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得成立，则称矩阵A,B相似，记为。2、性质：性质3(1)反身性;(2)对称性由即得;（3）传递性和即得总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4)（其中是任意常

4、数）；(5）；(6）若与相似，则与相似（为正整数）；(7)相似矩阵有相同的秩，而且，如果为满秩矩阵，那么.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果，则有：(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设，若可逆，则从而可逆.且与相似.若不可逆，则不可逆，即也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4相似矩阵的特征值相同.推论3相似矩阵有相同的迹.3、判定：设均为数域上阶方阵，若存在数域上阶可逆矩阵使得,则称矩

5、阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)在数域上阶可逆矩阵，使得二、矩阵的等价、合同和相似之间的联系（一）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系1、相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明：设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记,,则有,因此由定义1得到阶方阵等价反过来，对于矩阵,等价，但是与

6、并不相似，即等价矩阵未必相似．2、对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵使,(即与等价)，且(为阶单位矩阵)，则与相似．证明：设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价．又知,若记,那么,也即,则矩阵也相似．3、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明：设阶方阵合同，由定义2有，存在阶可逆矩阵，使得，若记,,则有因此由定义1得到阶方阵等价反过来对于矩阵,等价，但是与并不合同，即等价矩阵未必合同．4、正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵,即使得即，则有，即与合同.同理

7、，若存在一个正交矩阵，即使得即与合同，则有由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（二）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵与正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下联系1、如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则与既相似又合同．证明：设与的特征根均为因为与阶实对称矩阵，则一定存在一个阶正交矩阵Q使得同理，一

8、定能找到一个正交矩阵使得从而有将上式两边左乘和右乘,得由于,,有,所以，是正交矩阵，由定理8知与相似．2、若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同．证明：不妨设是正交矩阵，则可逆，取,有，则与相似，又知是正交阵，所以与既相似又合同．3、若与相似且又合同，与相似也合同，则有与既相似又合同．证明:因为与,与相似，故存在可逆矩阵,，使,令,则且,故与相似．又因为与合同，与合同,故存在可逆矩阵,令而故