矩阵的等价合同相似的联系与区别

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1、目录摘要I引言11矩阵间的三种关系11.1矩阵的等价关系11.2矩阵的合同关系21.3.矩阵的相似关系22矩阵的等价、合同和相似之间的联系33矩阵的等价、合同和相似之间的区别6结束语6参考文献6内江师范学院本科学年论文摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一

2、致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件I内江师范学院本科学年论文引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1矩阵的等价关系定义1两个矩

3、阵等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的阶矩阵，使由矩阵的等价关系，可以得到矩阵与等价必须具备的两个条件：（1）矩阵与必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使得.性质1（1）反身性：即.（2）对称性：若，则（3）传递性：即若，，则定理1若为矩阵，且，则一定存在可逆矩阵（阶）和（阶），使得.其中为阶单位矩阵.推论1设是两矩阵，则当且仅当.1.2矩阵的合同关系定义2设均为数域上的阶方阵，若存在数域上的阶可逆矩阵，使得,则称矩阵为合同矩阵（若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵与合同必须同

4、时具备的两个条件：(1)矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2)存在数域上的阶矩阵,6内江师范学院本科学年论文性质2（1）反身性：任意矩阵都与自身合同.（2）对称性：如果与合同，那么也与合同.（3）传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：1.3.矩阵的相似关系定义3设均为数域上阶方阵，若存在数域上阶可逆矩阵使得,则称矩阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵

5、为正交阵，则称与为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)在数域上阶可逆矩阵，使得性质3(1)反身性;(2)对称性由即得;（3）传递性和即得总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4)（其中是任意常数）；(5）；(6）若与相似，则与相似（为正整数）；(7)相似矩阵有相同的秩，而且，如果为满秩矩阵，那么.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；6内江师范学院本科学年论

6、文因为如果，则有：(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设，若可逆，则从而可逆.且与相似.若不可逆，则不可逆，即也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4相似矩阵的特征值相同.推论3相似矩阵有相同的迹.2矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明：设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记,,则有,

7、因此由定义1得到阶方阵等价反过来，对于矩阵,等价，但是与并不相似，即等价矩阵未必相似．定理6对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵使,(即与等价)，且(为阶单位矩阵)，则与相似．证明：设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价．又知,若记,那么,也即,则矩阵也相似．定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明：设阶方阵合同，由定义2有，存在阶可逆矩阵，使得，若记,,则有因此由定义1得到阶方阵等价6内江师范学院本科学年论文反过来对于矩阵,等价，但是与并不合同，即等价矩阵未必合同．定理8正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩

8、阵．证明：若存在一个正交矩阵,即使得即，则有，即与合同.同理，若存在一个正交矩阵，即使得即与合同，则有由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一