欧拉法、梯形法和龙格-库塔解微分方程

《欧拉法、梯形法和龙格-库塔解微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、欧拉法、梯形法和龙格-库塔一、解方程：y=8x(2-y)y(0)=1二、算出方程的解析解为：y=2-e-4x2三、实验原理：1.欧拉法原理：将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：　　，i=0,1,2,n这就是欧拉格式，若初值yi+1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1,y2……..yn2.梯形法原理：将向前欧拉公式中的导数f(xi,yi)改为微元两端f(xi,yi)和f(xi+1,yi+1)的平均，即梯形公式。3

2、.龙格-库塔方法的基本思想：在区间[xn,xn+1]内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。令初值问题表述如下。则，对于该问题的RK4由如下方程给出：其中这样，下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：k1是时间段开始时的斜率；   k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn+h/2的值；   k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；   k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而

3、总积累误差为h4阶。四、欧拉法、梯形法和龙格-库塔的实现代码：h=0.1;x=0:h:1;y1=zeros(size(x));y1(1)=1;y2=zeros(size(x));y2(1)=1;y3=zeros(size(x));y3(1)=1;fori1=2:length(x)y1(i1)=y1(i1-1)+h*8*x(i1-1)*(2-y1(i1-1));%欧拉法m1=8*x(i1-1)*(2-y2(i1-1));%梯形法m2=8*x(i1)*(2-y2(i1-1)+h*m1);y2(i1)=y2(i1-1)+h*(m1+m2)/2;%梯形法公式k1=8*x(i1-1)*(2-y

4、2(i1-1));%龙格-库塔k2=8*(x(i1-1)+h/2)*(2-(y2(i1-1)+h*k1/2));k3=8*(x(i1-1)+h/2)*(2-(y2(i1-1)+h*k2/2));k4=8*(x(i1-1)+h)*(2-(y2(i1-1)+h*k3));y3(i1)=y3(i1-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;%龙格-库塔公式endy4=2-exp(-4*(x.^2));%解析解plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)%解析解与数值解图像legend('y1','y2','y3','y4')plot(x,y4-y1,x,y4-y2,x,y4-

5、y3)%解析解与数值解误差图像legend('y4-y1','y4-y2','y4-y3')五、图像：1.解析解y4与各个数值解y1,y2,y3的图像:(1)当步长h=0.1时：（2）当步长h=0.05时：（3）当步长h=0.01时：结论：三个图中，方程的解析解都是y4。Y1表示欧拉法,y2表示梯形法,y3表示龙格-库塔法。从上面三个图像可以看出，y3与y4的拟合度比其他两个都好，即龙格-库塔法得到的数值解与真实解的拟合度比欧拉法和梯形法都高。同时，从上图可以看出，步长h=0.01比h=0.05和h=0.1所得到的的解更接近于真实解，这也说明了，步长越小，区间内的点越多，估计解也就越

6、接近与真实解。2.解析解y4与各个数值解y1,y2,y3的误差图像：（1）当步长h=0.1时（2）当步长h=0.05(3)当步长h=0.01时结论：同样的，上面三个误差图可以看出：y4-y3表示龙格-库塔法与真实解的误差，y4-y2表示梯形法与真实解的误差，y4-y1表示欧拉法与真实解的误差。从三条曲线可以看出，y4-y3在[0,0.5]的误差很小，但是在[0.5,1]误差就有点大了。但是总体来说都比其他两个好。同时，从三个图也可以看出，步长越小，数值解与解析解的误差也就越小。