贵州大学-固体物理学教案4-1

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1、第四章晶格振动和晶体的热学性质4.1一维单原子链的振动运动方程色散关系相速与群速周期性边界条件运动方程βun-1unun+1n-1nn+1n+2设试解：a色散关系ωqωm-π/aπ/a0周期性晶格中原子的集体振动形成频率为ω，波矢为q的格波。对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相相速：－波位相的传播速度。群速：　　　　－波包（波能量）的传播速度相速与群速玻恩－卡门边界条件：边界原子?内部原子?l为任意整数又：q限制在中心布区内，即：故：波矢取值数＝Ｎ晶格振动波矢取值数＝晶格原胞数周期性边界条件（Born－Karman边界条件）q取不同

2、的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则晶格振动状态不同则与描述同一晶格(ℓ＝整数)振动状态例：返回4.2一维双原子链的振动运动方程色散关系周期性边界条件声学波和光学波运动方程考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链aMm{nnn-1n+1运动方程：{(设M>m)设试解：{色散关系周期性：０对称性：声频支格波光频支格波声学波和光学波一维双原子链有两支色散关系即有两支格波：声频支格波，频率位于超声波频率范围光频支格波，频率位于红外光波频率范围光学波和声学波在简约布区内的极值：光学波的最小频率大于声学波的最大频率光学波和声学波的物理图象光学波（opticalbranch）第n

3、个原胞中P、Q两种原子的位移之比，＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反位相型物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动。当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反实际晶体，＋(0)在1013~1014Hz，对应于远红外光　频率范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在　＋(0)附近的强烈吸收。声学波（acousticbranch）即：－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。当q0时，0，原胞内两种原

4、子的振动位相相同这与连续介质的弹性波＝vq一致.当q0时在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振　幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所　以这种晶格振动称为声学波或声学支或声频支格波．周期性边界条件h=整数，N：晶体链的原胞数q空间态密度：{简约布区中q的取值数＝晶体的原胞数晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系式（s支格波），其中：1支声学波，(s-1)支光学波。晶格振动格波的总数＝sN＝晶体的自由度数返回4.3格波能量的量子化•声子正交关系晶格振动的能量声子两个正交关系频率为j的解：原子的实际位移:两个

5、正交关系：Q(q,t)－晶体中原子整体运动的坐标，称简正坐标．晶格振动的能量动能：势能：总机械能：利用两个正交关系：运动方程：晶体中原子共同参与频率为ω，波矢为q的简谐振动,称为一种振动模式，即一组（ω，q）为一个振动模式.由量子力学:___即晶格振动的能量是量子化的．声子声子是晶格振动格波的能量量子.声子的能量为ħω，准动量为ħq．声子是玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计．为何引入声子?声子有何特性?1)一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子.2)声子具有能量ħω，也具有准动量ħq，但声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它

6、不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子,只是一种准粒子．3)当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以ħω为单元交换能量.4)声子之间以及声子与其它粒子的相互作用过程遵从能量守恒和准动量守恒：其中　　　　　　　　　　为倒格矢．6)由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动总能量为：5)声子是玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计．返回4.4三维晶格振动运动方程三维晶格振动主要结论模式密度(格波频率分布函数)范•霍夫奇性运动方程(由N个原子组成的三维布喇菲格子)第ℓ个原子的位矢:在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U0＝0）：(ℓ)和(ℓ’)是第ℓ和第ℓ’个原子分别沿和方向的位

7、移.___力常数第ℓ个原子的运动方程：这里考虑了晶体中所有原子的相互作用晶体中各力常数之间并不全是独立的，而必须满足：，＝1，2，3由晶格的周期性，得三维晶格振动主要结论设方程有格波解：将试解带入运动方程得：(，＝1，2，3)其中：所有的Aβ不能同时为零,于是得久期方程：可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即有三支声学波：一支纵波，两支横波.推广至N个原胞,每个原胞中有s个原子的三维复试格子：晶格振动波矢的总数＝晶体的原胞数