求极限的几种方法论文

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1、有关求极限运算的方法求极限的几种方法崔令坤摘要:极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终,掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基础。关键词:高等数学,极限方法能力。定义:设函数在点的某个去心邻域内有定义,即存在1.用极限定义求极限例1:(1)用放法证明:(2)设(1)证明:,要记此式可改写成:用到了二项展开式得:当时至此要,只要即故令,则时,有2)证明:当A为有限数时,因为,故使得,当n>N时有从而,上式17有关求极限运算的方法注意:这里已为定数,因而,当时,于是,令,则时2.用Cauchy准则证明极限:例:设试证收敛,证明:因为对有,(只要(即

2、)),故令,则时,有,收敛从而,结论得证。3.利用单调有界原理证明极限存在要点:单调有界原理单调递增,有上界或,有单调递减,有下界。例:证明:数列单调下降有界,从而有极限。证明:利用已知不等式有17有关求极限运算的方法故严格单调递减又因为即有下界,单调递减,故存在。数列与子列,函数与数列的极限关系大家都知道数列与子列有如下的极限关系(当时)任意子列有(当时)类似的,函数与数列有如下的极限关系:;若,则有当时,作为分条件都可以减弱。例:试证:证明:只需证明充分性,而必要性显然成立按已知条件当时,又,当时,于是令,则时恒有故5.利用等价代换和初等变形求极

3、限a大家在求乘除极限里,其因子可用等价因子代替,极限不变。最常用的等降价关系如:当时,(其中),17有关求极限运算的方法例:1)2)3)4)设有限数a,b,A均不为零,证明:的充分必要条件是解答:1)解:由于,故原式=2)解:原式=3)解:原式=4)证明:()左边的极限存在表明:时,,故从而有:===等价代换=====()右边的极限存在表明:当时,由于对数函数的连续性可知,即:,故有17有关求极限运算的方法从而有:注:等价代换原理,来源与我分数约分,只能对乘除式里的因子进行代换,在分子(分母)多项式里的单项式不可作等价代换,否则会导致错误。b.利初等

4、变形求极限要点:用初等数学的方法,将加以变形,然后求极限,主要对进行紧缩。例:求1).2)3)4)1)解:1)式的右边乘以得:从而(当时,)2)解:2)式乘以,再对分子反复利用17有关求极限运算的方法(当时)从而从而,有:4)解:从而,有:6.利用已知极限1)若,则因为2)若,则。因为17有关求极限运算的方法Euler常数的经典极限:存在。例1:求的极限解:原式=(其中C为Euler常数,当时,)例2:试借用Stirling公式:来求极限。解:从而,有(其中C为Euler常数)7利用变量替换求极限为了将未知的极限简化,或转化为已知的极限来求,可根据极

5、限的特点,引入新的变量,来替换原来的极限过程,转化为新才极限的过程。例:若17有关求极限运算的方法试证明:证明:令则当时,于是从而有:8两边夹法则当极限不易求出时,可以考虑将极限适当变形。即将极限适当放大或缩小,使原极限变为新的极限,且二者的极限值相同,则原极限存在,且等于此极限值。例:求极限的值(1)(2)(1)解:由于几何平均数小于算术平均数,故分母中的因子17有关求极限运算的方法由此可知:而9L’Hospital法则(1)在使用L’Hospital法则之前,必须考虑它是否属于七种不定型之一。不定行:“”,“”,“”,“”,“”,“”,“”。否则

6、就不能用它。例:1)2)3)解:由L’Hospital法则:由于.(2)L’Hospital法则并不是万能的,有时用L’Hospital法则求不出极限,并等于极限不存在。例如,就是如此。这是因为L’Hospital法则只是充分条件,而不是必要条件。(3)L’Hospital法则告诉我们,对于型或型,当存在时也存在吗?请看下面的例子例:求17有关求极限运算的方法解:这是型,但我们并不能根据当时,的极限不存在,就错误地得出也不存在的结论----事实上,显然有。因此,不存在并不表示本身存在或是不存在,它不仅仅意味着,此时不能使用L’Hospital发展,而

7、应改用其他方法来讨论(4)型的L’Hospital法则使用时,只需检验分母趋向无穷大即可,分子趋不趋向没有关系。请看下面的例子。例:设在内可微,且,当时,,且(有限数,或),则证明:已知,因此保持取,应用Cauchy中值定理,然后令知函数差分比(当时).(1)剩下的问题在于根据,(时),由差分比推出(当时)。事实上可以改写成,因此(2)1)若A=有限数,有(2)可得(3)17有关求极限运算的方法保持,令,则使当时,有.再将固定,令x继续趋向,据(当时),知,使得时,有,由于由(3)2)若,则x充分接近时,。并且对M=1,当时,有,从而:(当固定令时)

8、可见(当时).由此可见利用1)中结果,由得出,从而注:1)这里是的情况,的情况以及的情况亦有类似的结论和证法

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