资源描述：
《研究莱布尼茨的数学思想》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、研究莱布尼茨的数学思想.freel)上首次发表了题为《关于求极大、极小和切线的新方法,也能用于分数和无理量的情形及非寻常类型的有关计算》(简称《新方法》)的文章。这是他关于微分计算要点的代表作,全文只有六页。1686年莱布尼茨又在《教师学报》上发表了题为《论一种深邃的几何学和不可分元分析以及无穷》一文。这是他最早发表的以讨论积分学为主的文章,实际可看作《新方法》的续篇。莱布尼茨把最初的微积分称为求差的方法与求和的方法。他的基本思想是把一条曲线下的面积分割成许多小矩形与曲线之间微小直角三角形的两边分别是曲线上相邻两点的纵坐标和横坐标之差。
2、当这两无限减小时,曲线上相邻两点便无限接近。联结这样两点就得出曲线在该点的切线。这就是求差的方法。求差的反面就是求和。当曲线下面的矩形被分割得无限小时,矩形上面的那个三角形可以忽略不计,此时就用这些矩形之和代表曲线下的面积。早在1666年,莱布尼茨就发现帕斯卡算术三角形与调合三角形之间存在着有趣的关系。(6,pp.216~217)在帕斯卡三角形中,任意一个元素既等于其上一行左边各项之和,又等于其下一行相邻两项之差;而在调合三角形中,任一元素均是其下一行右边各项之和,也是紧靠其上两项之差。算术三角形调合三角形莱布尼茨在笔记中写出了各阶的差
3、和微分:自然数0,1,2,3,4,5,…y一阶差1,1,1,1,1,1,…dy二阶差0,0,0,0,0,…自然数平方0,1,4,9,16,…y一阶差1,3,5,7,…dy二阶差1,2,2,2,…d(dy)三阶差1,0,0,…他把这些与微积分联系起来:一阶差相当于dy,它们的和等于y,如1+3+5+7=16。莱布尼茨认为,这种和与差之间的互逆性,与依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性是一样的。差别仅在于帕斯卡算术三角形与调合三角形中的两个元素之差为有限值,而曲线的纵坐标之差是无穷小量。这说明他在考虑无穷小量的和差运算
4、时,已将其与他早些时候关于有限量和差可逆性关系的研究联系起来。(10,p.392)由此也可看出莱布尼茨研究微积分的代数出发点,而不是几何出发点。(如7,p.101)为解决求积问题,莱布尼茨把流动纵坐标是y的平面曲线下的曲边梯形的面积用符号y表示。这样,曲线的纵坐标就与面积变量明显地联系起来。过了几年,他便用“sydx”表示面积,“∫”是“Sum(和)”的第一个字母“S”的拉长。在求量的差即微分方面,莱布尼茨先是引进了符号“x/d”表示x的微分,意思是求“差”要关系到量的同次的降低,并且他还认为,如果同时出现不同阶的微分,则只留下最低阶的
5、,而把所有高阶的微分舍去。至于这样做的理由,莱布尼茨虽提供了多种解释,但都不充分,其实毋宁说他是当作“公理”来使用的。后来,他将“x/d”改为“dx”,一直沿用至今。从上述思路出发,莱布尼茨给出了微积分的基本公式:d(x±y)=dx±dy(1)d(xy)=xdy+ydx(2)d(x/y)=ydx-xdy/y2(3)对于(2),他的推导是,令x、y分别成为x+dx、y+dy,则(x+dx)(y+dy)=xdy+ydx+dxdy+xy于是d(xy)=(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dxdydxdy是比xdy+ydx高一阶的无
6、限小量,可以舍去,所以d(xy)=xdy+ydx用同样的方法也可推导出公式(1)和(3)。有了微分法的基本运算律,对整指数的幂函数xn就有dxn=nxn-1。又由于求和是求差的逆运算,所以还有∫xndx=1/n+1xn+1(n≠-1)。这两个公式虽只对n是正整数情况而言,但莱布尼茨却断然宣布它们当n取其它数值时仍然成立。接着,莱布尼茨陆续地推导出指数和对数等超越函数的微分公式。莱布尼茨的微积分算法是在解决几何和物理问题的过程中建立和完善起来的。他边建立新算法,边用这种算法解决当时物理学与几何学提出的疑难问题,有时还用老方法来解决问题以检
7、验新方法的正确性。除了切线问题、极值问题、曲率问题、求积问题等几何问题,他还曾用新方法证明了光的折射定律。所有这些都显示了新算法比传统方法更加优越。除了以上成果,莱布尼茨在微积分方面的具体研究还有:(1)复合函数的微分法则;(2)弧微分法则ds=根号下dx,2+dy,2;(3)对数函数和指数函数的微分法则;(4)在积分号下对参变量求微分的方法;(5)曲线绕x轴旋转所成的旋转体体积公式V=π∫y2dx;(6)求切线、求最大值最小值以及求拐点的方法;(7)讨论曲率,密切圆和包络理论。(8,pp.394~395)莱布尼茨微积分研究的背景与当时
8、整个西欧的数学家们是一致的,他的工作基础也是建立在对无穷小的分析上。因此,此后很长一段时间,人们一直把微积分叫无穷小分析。由于莱布尼茨从有限差值开始无穷小的运算,因而他最初曾试图将实无穷小代之以与其成比例的
