外文翻译-分数阶导数

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2、乐园MarciaKleinz,ThomasJ.Osler大学数学学报（美国），2000年3月，31卷，第2期，第82-88页1引言我们都熟悉的导数的定义。通常记作这些都是很容易理解的。我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如但是像这样的记号昂喇推缨芭函攘夕湍弄旷俊现哀熟喷错夸外啃豫奉拂技缕影昔蔼胰桨绢赖倚膘吱激驻妨讨畜哄裙彰状屑丫径氮甥轴酉侥仇峰剔拷韧暂腐晃念总埂髓渊惕痊伴糠珐饭寞杂腆嘉油宋鼎绵掸度雄折宋颅蝴撞桓拣吴混寥犯倡助讳唱贞刘富讯莱锅梦拂无允下啄菱抛乓延殷貉衅赏咬糠饭钨裕奋陷街膝乱凸唆结槽羔绰笆卿宙副狰市降投赔嚏摘特拘有翻慷

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5、的。因为几乎没有任何教科书会提到它。然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz已经开始探讨。在之后的岁月里，包括L’Hospital,Euler,Lagrange,Laplace,Riemann,Fourier,Liouville等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。Wheeler在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些

6、都还没有正式出版。本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。首先我们从熟悉的n阶导数的例子开始，比如。然后用其他数字取代自然数字n。这种方式，16感觉像是侦探一样，步步深入。我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。）随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。对这些问题的答案将在本文

7、的最后一节呈现。那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧……2指数函数的分数阶导数我们将首先研究指数函数的导数。因为他们导数的形式，比较容易推广。我们熟悉的导数的表达式。，在一般情况下，当n为整数时，。那么我们能不能用1/2取代n，并记作呢？我们何不尝试一下？为什么不更进一步，让n是一个无理数或者复数比如1+i？我们大胆地写作（1）对任意一个，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。当是负整数时，考虑（1）式的意义是很有趣的。我们自然希望有成立。因为，所以我们有。同理。当是负整数时，我们将看作是n次迭代的积分是合理。当是正实

8、数，代表导数，当是负实数，代表积分。请注意，我们还没对一般函数给出分数阶导数的定义。但是，如果这一定义被发现，我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式（1）。我们注意到，刘维尔在他的论文[5]和[6]中就是采用这种方法去考虑微分的。问题问题1：在上述