2018版高中数学（人教a版）必修5同步教师用书：必修5 第2章 2.3 第1课时　等差数列的前n项和

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1、2．3　等差数列的前n项和第1课时　等差数列的前n项和1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)3．会用裂项相消法求和．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理　等差数列的前n项和阅读教材P42～P44例2，完成下列问题．1．数列的前n项和的概念一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋d1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11

2、，则S7等于(　　)A．13　　　B．35　　　C．49　　　D．63【解析】　a2＋a6＝a1＋a7＝14，∴S7＝＝49.【答案】　C2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝________.【解析】　因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×1＝＝＝.【答案】　3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________.【解析】　由S10＝＝120，得a1＋a10＝24.【答案】　244．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于(　　)A．16B．24C．36D．48【解析】　设等差数列{

3、an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.【答案】　D[小组合作型]裂项求和法　已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【精彩点拨】　(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出an及Sn；(2)由(1)求出bn的通项公式，再根据通项公式的特点选择求和的方法．【自主解答】　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意可得解得a

4、1＝3，d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1；Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝＝＝·＝·，所以Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝.裂项相消法求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的．常用裂项技巧有：(1)＝；(2)若{an}为等差数列，公差为d，则＝；(3)＝(－)等．[再练一题]1．等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d

5、，则an＝a1＋(n－1)d.因为所以解得所以{an}的通项公式为an＝.(2)因为bn＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝.等差数列前n项和公式的实际应用　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？【精彩点拨】　因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成

6、一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．【自主解答】　从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列

7、模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.[再练一题]2．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．【解析】　假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程

8、分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2000(米)．【答案】