2018版高中数学（人教a版）必修5同步教师用书：必修5 第2章 2.3 第2课时　等差数列前n项和的综合应用

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1、第2课时　等差数列前n项和的综合应用1．掌握an与Sn的关系并会应用．(难点)2．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点)3．会求等差数列前n项和的最值．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理　等差数列前n项和的性质阅读教材P44例3～P45，完成下列问题．1．Sn与an的关系an＝2．等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．3．等

2、差数列前n项和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．1．下列说法中正确的有________(填序号)．(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．(2)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.(3)若a1>0，d

3、<0，则等差数列中所有正项之和最大．(4)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.【解析】　(1)正确．因为由等差数列前n项和公式知＝n＋a1－d，所以数列为等差数列．(2)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.(3)正确．由实数的运算可知该说法正确．(4)正确．因为S2n－1＝＝[an＋(1－n)d＋an＋(n－1)d]＝(2n－1)an.【答案】　(1)(3)(4)2．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________.【解析】　由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a

4、9＋a11＝30，又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，∴中间项a6＝5.【答案】　53．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.【解析】　由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5，∴S6＝15.【答案】　154.已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________．【解析】　由an≤0得，2n－48≤0，n≤24，∴当n＝23或24时，Sn最小．【答案】　23或24[小组合作型]由数列的前n项和Sn求an

5、　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【精彩点拨】　【自主解答】　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1)，可知，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2＋(n－1)＝2n－，①当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.由此可知：数列{an}是以为首项，以2为公差的等差数列．1．已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求

6、得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．2．由数列的前n项和Sn求an的方法，不仅适用于等差数列，它也适用于其他数列．[再练一题]1．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.【解】　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2

7、＋7n－5＝4n－5.此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，故an＝等差数列前n项和的性质应用　(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为(　　)A．9　　　　B．12C．16D．17(2)等差数列{a

8、n}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.【精彩点拨】　(1)解决本题关键是能发现S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，a17