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《2017-2018学年高中数学2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换教学案苏教版选修4-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案2．2.4 旋转变换[对应学生用书P14] 1．旋转变换将一个图形F绕某个定点O旋转角度θ所得图形F′的变换称为旋转变换．其中点O称为旋转中心，角度θ称为旋转角．2．旋转变换矩阵像这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状．[对应学生用书P14]点在旋转变换作用下的象[例1] 在直角坐标系xOy内，将每个点绕原点O按逆时针方向旋转135°的变换称为旋转角是135°的旋转变换．(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵；(2)求点A(4,8)在这个
2、旋转变换作用下的象A′.[思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解．[精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：，该变换对应的矩阵为：＝.(2)由(1)知，当x＝4，y＝8时，x′＝－6，y′＝－2，所以点A(4,8)在这个旋转变换作用下的象为A′(－6，－2)．8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵是解决这类问题的关键．逆时针旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值．1．求出△ABC分别在M1＝，M2＝，M3＝对应的变换作用下的图形这里A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)．
3、解析：在M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1，－1)．在M2下，A→A″(0,0)，B→B″(0,2)，C→C″(－1,1)．在M3下，A→A(0,0)，B→B(，)，C→C(0，)．图形分别为2．在直角坐标系xOy内，将每个点绕坐标原点O按顺时针方向旋转60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A(－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A′的坐标．解：由题意得旋转变换矩阵为＝，8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案故对应的坐标变换公式为.令x＝－1，y＝0得.所以所求的点A′的坐标为.曲线在旋
4、转变换作用下的象[例2] 已知曲线C：x2＋y2＝2，将曲线C绕坐标原点逆时针旋转60°后，求得到的曲线C′的方程．[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程．[精解详析] 旋转变换对应的矩阵M＝＝，设P(x0，y0)为曲线C上任意的一点，它在矩阵M对应的变换作用下变为P′(x，y)．则有＝，故因为点P(x0，y0)在曲线C：x2＋y2＝2上，所以x＋y＝2，即2＋2＝2，∴x′＋y′＝2.从而曲线C′的方程为x2＋y2＝2.理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形结合直
5、接得出，如本例中，曲线C是以原点为圆心的圆，所以它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案3．将双曲线C：x2－y2＝1上的点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C′，试求C′的方程．解：根据题意，得旋转变换矩阵M＝＝，任意选取双曲线x2－y2＝1上的一点P(x0，y0)，它在变换作用下变为P′(x，y)，则有那么又因为点P在曲线x2－y2＝1上，所以x－y＝1，即有(x＋y)2－(y－x)2＝1，整理可得2xy＝1，所以所求C′的方程为xy＝.4．已知椭圆Γ：＋＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°
6、后所得到的曲线，画出示意图．解：设椭圆与坐标轴的交点分别为A(－2,0)，B(0，－)，C(2,0)，D(0，)(如图所示)．因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为M＝＝.所以＝，＝，8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案＝，＝.故点A，B，C，D在旋转变换M的作用下分别变为点A′(0，－2)，B′(，0)，C′(0,2)，D′(－，0)，从而椭圆曲线Γ：＋＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ′：＋＝1.1．若点A在矩阵对应的变换作用下得到的点为(1,0)，求α.解：由＝，得∴∴(k∈Z)∴(k∈Z)∴α＝－＋2kπ
7、(k∈Z)．2．设点P的坐标为(1，－2)，T是绕原点逆时针旋转的旋转变换，求旋转变换T对应的矩阵A，并求点P在旋转变换T作用下得到的点P′的坐标．解：由题意知旋转变换矩阵A＝＝设P′(x′，y′)，则＝8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案∴即P′.3．已知曲线C：xy＝1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针方向旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；(2)求曲线C′的焦点坐标和渐近线的方程．解：(1)由题设知，M＝＝.由＝＝，得解得代入xy＝1，得曲线C′的方程为y2－x2＝2.(2)由(1)知曲线C′的焦点为(0,2)，(0，－2)，
8、渐近线方程为y＝±x.4．求直线y＝x绕原点逆时针旋转后所得的直线的方程．解：直线y＝x的倾斜角为，绕原点逆
