例说梯形探索问题

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1、例说梯形有关的探索问题近年来的中考中，与梯形有关的探索问题屡见不鲜．下面介绍两例，供参考．例1　（广东省中考题）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,　M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．（1）求证：四边形MENF是菱形；（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并说明理由．析解：（1）要证明四边形MENF是菱形，可先证明它有一组邻边相等，再证明它是平行四边形．因为等腰梯形ABCD中，AD∥BC,所以AB＝DC，∠A＝∠D．因为AM＝DM，所以△ABM≌△DCM（SAS）．所以BM＝CM．因为

2、E、F分别是BM、CM的中点，所以ME＝BM,MF＝CM．从而ME＝MF．又，N为BC的中点，所以EN和FN都是△MBC的中位线．所以EN∥CM,FN∥BM．从而四边形MENF是平行四边形．所以四边形MENF是有一组邻边相等的平行四边形．所以四边形MENF是菱形．（2-6-）应注意把四边形MENF是正方形当作条件，然后去探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系.先连结MN．因为BM＝CM，BN＝CN,所以MN是等腰△MBC底边上的中线．所以MN⊥BC，MN是等腰梯形ABCD的高．因为四边形MENF是正方形，所以∠EMF＝90°，△MBC为等腰直角三角

3、形．所以MN是直角△MBC斜边上的中线．所以MN＝BC．所以等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系为高等于底边的一半．例2（江西省）如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点处，折痕DE交BC于点E，连结E．(1)求证：四边形CDE是菱形；(2)若BC＝CD＋AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明．　　　　　　　　图3分析与解答：（1）要证明四边形CDE是菱形，只要证明这个四边形的四条边都相等．因为△CDE沿直线DE折叠能够与△DE重合，所以△CDE≌△DE．所以CD＝D,CE＝E，∠CDE＝

4、∠DE．因为AD∥BC，所以∠CED＝∠DE．所以∠CDE＝∠CED，CD＝CE．所以CD＝D＝CE＝E．所以四边形CDE的四条边都相等．所以四边形CDE是菱形．-6-（2）注意到AD∥BC，那么四边形ABED的形状有两种可能，要么是平行四边形，要么是梯形．现从条件BC＝CD＋AD出发，看看BE是否等于AD？因为BC＝BE＋CE，所以BE＋CE＝CD＋AD．因为CD＝CE,所以BE＝AD．因为AD∥BC，所以四边形ABED的对边BE与AD既相等又平行．所以四边形ABED是平行四边形．等腰梯形探索中考题展示一、探索条件型例1（江西赣州）如图1，在梯形ABC

5、D中，AB//CD，E、F、G、H、分别是各边AB、BC、CD、DA的中点，要使四边形EFGH是菱形，则下列补充的条件中不正确的是（）图1（A）AC⊥BD（B）AC=BD（C）AD=BC（D）∠C=∠D析解：这是一道条件型探索题，解答这类题应从如下两个方面入手：一是借助三角形的中位线定理，可确定四边形EFGH是平行四边形；二是借助菱形的判定条件，一组邻边相等的平行四边形是菱形可知AC=BD或AD=BC或∠D=∠C都可推出四边形EFGH是菱形，对条件(A），只能使四边形EFGH是矩形，故应(A）.提示：本题通过连结梯形的对角线，构造三角形，利用三角形的中位

6、线定理结合菱形的判定方法进行探究的.二、探索结论型-6-例2（重庆）如图2，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD相交于点O，有下列五个结论：①△AOB≌△DOC;②∠DAC=∠DCA;③梯形ABCD是轴对称图形;④AD=CD;⑤AC=BD.请把其中正确的结论的序号填在横线上:___________.图2析解:本题主要考查等腰梯形的有关性质:(1)等腰梯形两腰相等;(2)等腰梯形的对角线相等;(3)等腰梯形是轴对图形;(4)等腰梯形同一底上的两个角相等.根据这些性质可知正确的有①、②、③、⑤.提示：解决本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质，并且能从

7、图形中挖掘出隐含条件.三、探索改编型图3例3（辽宁沈阳）如图3，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上的一个动点（点E不与B、C两点重合）EF//BD交AC于F，EG//AC交BD于点G.（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB.（2）请你将上述题目的条件：“梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC”，改为另一种四边形，其他条件不变，使结论“四边形EFOG的周长等于2OB仍成立”，并将改编后的题目的图形画出，写出已知，求证.解析：本题是一道将证明与动态结合在一起的探究型中考题，主要考查学生分析证明问题的能力

8、和探究问题的能力，同时考查改编试题的思维能力.（1）因为四边形是梯形，，AD//