多维无约束优化算法

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1、多维无约束优化算法多维无约束优化问题的一般数学表达式为：求n维设计变量使目标函数多维无约束优化算法就是求解这类问题的方法，它是优化技术中最重要最基础的内容之一。因为它不仅可以直接用来求解无约束优化问题，而且实际工程设计问题中的大量约束优化问题，有时也是通过对约束条件的适当处理，转化为无约束优化问题来求解的。所以，无约束优化方法在工程优化设计中有着十分重要的作用。目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。（1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。（2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换

2、法、鲍威尔法单纯形法等。用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的（n≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛矩阵。各种优化方法之间的主要差异是在于构造的搜索方向，因此，搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。下面介绍几种经典的无约束优化方法。1、梯度法基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。搜索方向s取该点

3、的负梯度方向(最速下降方向)，使函数值在该点附近的范围内下降最快。为了使目标函数值沿搜索方向能够获得最大的下降值，其步长因子应取一维搜索的最佳步长。即有根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式，得在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。这就是说在迭代点向函数极小点靠近的过程，走的是曲折的路线。形成“之”字形的锯齿现象，而且越接近极小点锯齿越细。方法特点（1）初始点可任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标函数值下降很快，然后慢慢

4、逼近局部极小点。（2）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。梯度法的特点（1）理论明确，程序简单，对初始点要求不严格。（2）对一般函数而言，梯度法的收敛速度并不快，因为最速下降方向仅仅是指某点的一个局部性质。（3）梯度法相邻两次搜索方向的正交性，决定了迭代全过程的搜索路线呈锯齿状，在远离极小点时逼近速度较快，而在接近极小点时逼近速度较慢。（4）梯度法的收敛速度与目标函数的性质密切相关。对于等值线(面)为同心圆（球）的目标函数，一次搜索即可达到极小点。梯度法由于每次迭代的搜索方向是取函数

5、的最速下降方向，因此又称它为最速下降法。从这点看，容易使人认为，这种方法是一个使函数值下降最快的方法，但实际上并不是这样，计算表明，此法往往收敛得相当慢。这是由于梯度法的相邻两次搜索方向是相互正交的，所以，当二元二次函数的等值线是比较扁的椭圆时，其梯度法逼近函数极小值的过程呈直角锯齿状，如图8-15(b)所示。这种算法的优点是迭代过程简单，要求的存储量也少，而且在远离极小点时，函数下降还是比较快的。因此，常常将它与其它方法结合，在计算的前期使用最速下降方向，当接近极小点时，再改用其它搜索方向，以加快收敛速度。2、牛顿法（二阶梯度法）基本思想：在xk邻域内

6、用一个二次函数来近似代替原目标函数，并将的极小点作为对目标函数求优的下一个迭代点。经多次迭代，使之逼近目标函数的极小点。牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。设为的极小点这就是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。对于二次函数，海赛矩阵H是一个常矩阵，其中各元素均为常数。因此，无论从任何点出发，只需一步就可找到极小点。从牛顿法迭代公式的推演中可以看到，迭代点的位置是按照极值条件确定的，其中并未含有沿下降方向搜寻的概念。因此对于非二次函数，如果采用上述牛顿迭代公式，有时会使函数值上升。3、修正牛顿法（阻尼牛顿法）阻尼因子，沿牛顿方向进行一维搜索的最佳步长，由下式求

7、得：方法特点：（1）初始点应选在X*附近，有一定难度；（2）若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向；（3） 不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。此外，对于二阶不可微的F(X)也不适用。虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它具有收敛最快的优点，并为其他的算法提供了思路和理论依据。4、变尺度法DFP法是基于牛顿法的思想又作了重要改进。这种算法仅用到梯度，不必计算海赛矩阵及其逆矩阵，但又能使搜索方向逐渐逼近牛顿方向，具有较快的收敛速度。基本思想：变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。通过尺度变换可以把函数的偏心程

8、度降到最低限度。Ak是需要构造n×n的一个对称方阵，如Ak=I,则得到梯度法；如