第六章 万有引力与航天

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1、第六章万有引力与航天　　一、开普勒三大定律，万有引力定律　　知道开普勒三大定律，掌握万有引力定律，知道万有引力定律的适用范围。　　1．万有引力定律发现的思路、方法　　开普勒解决了行星绕太阳在椭圆轨道上运行的规律，但没能揭示出行星按此规律运动的原因．英国物理学家牛顿(公元1642～1727)对该问题进行了艰苦的探索，取得了重大突破．　　首先，牛顿论证了行星的运行必定受到一种指向太阳的引力．　　其次，牛顿进一步论证了行星沿椭圆轨道运行时受到太阳的引力，与它们的距离的二次方成反比．为了在中学阶段较简便地说明推理过

2、程，课本中是将椭圆轨道简化为圆形轨道论证的．　　第三，牛顿从物体间作用的相互性出发，大胆假设并实验验证了行星受太阳的引力亦跟太阳的质量成正比．因此得出：太阳对行星的引力跟两者质量之积成正比．　　最后，牛顿做了著名的“月一地”检验，将引力合理推广到宇宙中任何两物体，使万有引力规律赋予普遍性．　　2．万有引力定律的检验　　牛顿通过对月球运动的验证，得出万有引力定律，开始时还只能是一个假设，在其后的一百多年间，由于不断被实践所证实，才真正成为一种理论．其中，最有效的实验验证有以下四方面．　　⑴．地球形状的预测．牛

3、顿根据引力理论计算后断定，地球的赤道部分应该隆起，形状像个橘子．而笛卡尔根据旋涡假设作出的预言，地球应该是两极伸长的扁球体，像个柠檬．　　1735年，法国科学院派出两个测量队分赴赤道地区的秘鲁(纬度φ＝20°)和高纬度处的拉普兰德(φ＝66°)，分别测得两地1°纬度之长为：赤道处是110600m，两极处是111900m．后来，又测得法国附近纬度1°的长度和地球的扁率．大地测量基本证实了牛顿的预言，从此，这场“橘子与柠檬”之争才得以平息．　　⑵．哈雷彗星的预报．英国天文学家哈雷通过对彗星轨道的对照后认为，16

4、82年出现的大彗星与1607年、1531年出现的大彗星实际上是同一颗彗星，并根据万有引力算出这个彗星的轨道，其周期是76年．哈雷预言，1758年这颗彗星将再次光临地球．于是，预报彗星的回归又一次作为对牛顿引力理论的严峻考验．　　后来，彗星按时回归，成为当时破天荒的奇观，牛顿理论又一次被得到证实．　　⑶．海王星的发现．　　⑷．万有引力常量的测定．　　由此可见，一个新的学说决不是一蹴而就的，也只有通过反复的验证，才能被人们所普遍接受．　　二、万有引力与重力的关系：　　地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因．但

5、重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是，式中的r是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F，它是引力F的一个分力，引力F的另一个分力才是物体的重力mg．　　在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力(R为地球半径)，由公式可见，随

6、着纬度升高，向心力将减小，在两极处Rcosα＝0，f＝0．作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大．在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差．即在两极，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，仅为10－5rad/s数量级，所以mg与F的差别并不很大．　　在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力这是一个很有用的结论．　　重力mg一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg才能向地心．　　同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度g的数值，还随着物体离地面高度的增加而减小．　　若

7、不考虑地球自转，地球表面处有可以得出地球表面处的重力加速度　　在距地表高度为h的高空处，万有引力引起的重力加速度为g＇，由牛顿第二定律可得：　　　　即　　如果在h＝Ｒ处，则g＇＝g／4．在月球轨道处，由于r＝60Ｒ，所以重力加速度g＇＝g／3600．　　重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用．　　三、人造卫星的发射、运行、变轨　　（一）发射：　　例1、以下说法正确的是（　　）　　A、第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运的速度　　B、第一宇宙速度是使物体成为一颗人造卫星理论上最小发射速度

8、　　C、在地面附近发射卫星，如果发射速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，它绕地球运行的轨迹就是椭圆　　D、紫金山天文台发现的“吴健雄星”直径为32km，密度与地球相同，则该小行星的第一宇宙速度大小约为20m/s　　正确答案：ABCD　　其中D：　得：　　　　　　m/s　　（二）运行：研究绕地做匀速圆周运动的卫星　　请推导卫星绕地线速度v、角速度ω、周期T与轨道半径的关系。　　①由得，r越大，v越小