第九章 本征问题的近似解法

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1、第9章本征问题的近似解法众所周知，多数真实量子体系的定态薛定谔方程是不能严格求解的，为了得到其近似结果，通常要选用合适的近似方法来处理，微扰论与变分法是两个最常用的近似方法。由微扰论可知，能量的一级修正是微扰项的对角元，而能量的二级修正则是一个求和项，随着微扰级数的增加，高阶修正的计算公式会越来越繁杂。变分法在求出一级近似之后，高级近似的计算无章可循。以往的教科书中，只给出微扰论的一、二级近似和变分法的一级近似结果。本章导出了微扰论计算公式的递推形式和变分法的迭代形式(最陡下降法)，它们均能使其计算结果以任意精度逼近精确解。另外

2、，作为近似计算的基础，本章也导出了在常用基底下矩阵元的级数表达式。§9.1无简并微扰论公式及其递推形式设体系的哈密顿算符满足(9.1.1)若哈密顿算符可以写成两项之和，即476(9.1.2)而的作用又远小于的贡献，称为微扰（摄动）项，并且无微扰时的解已知，即本征方程(9.1.3)的解和已经求出，当上述三个条件皆被满足时，则可以逐级求出能量本征值与本征矢的近似值，通常把这种近似求解方法称之为微扰论。当待求能级是非简并能级时，不论其它能级是否简并，均可以利用本节导出的无简并微扰论公式进行计算，否则，应该使用下一节将介绍的简并微扰论方

3、法进行处理。下面将分别介绍无简并的汤川秀树(Yukawa)、维格纳(Wigner)、高斯通（Goldstone）和薛定谔的微扰论公式及其递推形式。§9.1.1汤川秀树公式1、无简并微扰展开若待求的第个能级无简并，则的第个能级的精确(严格)解(薛定谔方程不做任何取舍时所求得的解)可按微扰级数展开为(9.1.4)(9.1.5)其中，与分别为第个能级的本征值与本征矢的零级近似，而当时，与分别为第个能级的本征值与本征矢的第级修正，波函数第级修正与零级波函数正交，即(9.1.6)476将(9.1.4)、(9.1.5)式代入(9.1.1)式

4、，可得零级近似和各级修正满足的方程为(9.1.7)(9.1.8)(9.1.9)(9.1.10)(9.1.11)2、零级近似由(9.1.3)式和(9.1.7)式容易得到零级近似解:(9.1.12)(9.1.13)在应用微扰论进行计算时，需要选定一个具体的表象，通常选表象。若定义表象中的波函数的级修正(9.1.14)则(9.1.15)476比较(9.1.13)式与(9.1.15)式，可得在表象下零级近似波函数为(9.1.16)3、一级修正用左乘(9.1.8)式两端，利用的厄米特性可求得能量的一级修正(9.1.17)此即能量一级修正公

5、式，它就是微扰算符在表象中的第个对角元。为了导出波函数一级修正公式，引入去投影算符(9.1.18)在第5章中已经提到，对任意状态，它的作用是(9.1.19)上式表明：投影算符是一个表示向以外空间投影的算符。在任意状态向的本征态展开时，当时，投影算符不改变原来的状态，而当时，投影算符使其变为零。用算符函数从左作用(9.1.8)式两端，利用算符与对易的性质得476(9.1.20)其中算符的作用是为了满足(9.1.6)式，且保证等式右端分母不为零。用左乘(9.1.20)式两端，得到在表象中波函数的一级修正值(9.1.21)实际上，由(

6、9.1.6)式知，对于，有，以下不再标出。4、二级修正同理，利用(9.1.9)式可导出能量本征值与本征矢的二级修正值为(9.1.22)进而得到在表象中波函数的二级修正值(9.1.23)为了使用方便，将(9.1.21)式代入(9.1.22)式，可得能量二级修正的具体表达式(9.1.24)进而得到近似到二级的能量本征值为476(9.1.25)如果的能级是简并的，且简并度为，则上式应该作相应的修改，即(9.1.26)其中，(9.1.27)纵观微扰论的计算公式会发现，在知道了的本征矢之后，微扰矩阵元的计算是解决问题的关键所在，本章的最后

7、一节将给出相应的方法。5、级修正依次做下去，利用(9.1.11)式可导出在表象中级的能量和波函数的修正公式为(9.1.28)此即汤川秀树的递推公式。在上式的第二个求和中，是对独立的两项之积进行求和，通常将此两项之积称之为非连通项，而将第一个求和中的两项之积看作全部的项，于是，波函数的修正可视为对全部项与非连通项之差求和，即连通项之和。476显然，(9.1.28)式具有递推的形式，用它可由前级结果求出第级修正值，从零级近似(9.1.29)出发，利用(9.1.28)式，可以逐级求出能量与波函数的修正值直至任意级。此即非简并微扰论的递

8、推形式，或者称为汤川秀树的递推公式。§9.1.2维格纳公式1、维格纳公式维格纳公式(9.1.30)证明：只要能证明和满足的本征方程即可，用作用上式中的第一式(9.1.31)于是，证得满足本征方程(9.1.32)进一步可将(9.1.30)式改写成级数形式476(9