计算方法例题分析

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1、例题分析一例1　设准确值x*=π=3．1415926，当分别取近似值x=3．14和x=3．1416和x=3．1415时，求绝对误差、绝对误差限及有效数字位数。　　解：近似值x=3．14＝0.314×101，即m=1，　　它的绝对误差是　－0．0015926…，有│x-x*│=0.0015926…≤0.5×101-3　　即n=3，故x=3．14有3位有效数字。x=3．14准确到小数点后第2位，又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有│x-x*│=0.0000074…≤0.5×101-5　　即m=

2、1，n＝5，x=3.1416有5位有效数字。而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有│x-x*│=0.0000926…≤0.5×101-4　　即m=1，n＝4，x=3．1415有4位有效数字。　　这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2　指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：　　2．0004　　－0．00200　　9000　　9000．00　　解：因为x1=2．0004＝0．20004×101，它的绝对误差限0．00005=0．5×10

3、1-5，即m=1，n=5，故x=2．0004有5位有效数字。a1=2，相对误差限；　　x2=－0．00200，绝对误差限0．000005，因为m=－2，n=3，x2=－0．00200有3位有效数字。a1=2，相对误差限　　x3=9000，绝对误差限为0．5×100，因为m=4,n=4，x3=9000有4位有效数字，a=9，相对误差限　　x4=9000．00，绝对误差限0．005，因为m=4，n=6，x4=9000．00有6位有效数字，相对误差限为　　由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的

4、。例3　ln2=0．69314718…，精确到10－3的近似值是多少？　　解：精确到10-3＝0．001，意旨两个近似值x1，x2满足│x1-x2│≤0．001，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足│x1-x2│≤0．001，近似值的绝对误差限应是ε＝0．0005，故至少要保留小数点后三位才可以。故In2≈0．693。例4　试利用f(x)的数据表　　计算积分，并估计计算误差．　　分析　在f(x)的表达式不知道的情况下，如何去求f(x)的积分值呢?若利用本章的知识，即可利用已知的f(x)的数据表构造f(x)的二次插值

5、多项式p2(x)，以作为f(x)的近似函数，并进而以p2(x)的积分值作为所求积分值的近似。至于误差的计算，也可由误差f(x)-p2(x)出发进行估计。　　解：根据拉格朗日插值公式，利用给定的数据表，可构造出f(x)的二次插值多项式插值余项为．由此得积分近似值积分值的误差为　　其中例5　给定f(x)在节点a，b上的函数值与导数值f(a)，f(b)，f′(a)。试求一个二次多值式H2(x)，使之满足插值条件H2(x)=f(a)，H2(x)=f(b)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)　　分析

6、构造插值多项式的基本方法是基函数法，即对每一个插值条件建立一个与之相应的插值基函数。基函数的形式要与所求的插值函数相一致。然后用给定的插值数据与基函数作线性组合，就可得到所求的插值函数。　　解：法一与(1)中三个插值条件相应，依次建立三个插值基函数，是二次多项式且满足标准的基函数插值条件利用待定系数法容易求得则所求的二次插值多项式为　　法二　可先根据给定条件H2(x)=f(a)，H2(b)=f(b)作出牛顿插值(或拉格朗日插值)多项式，然后再加带有待定系数的一项，所加项自然应保证在a，b处取值为零，故而可取k(x-a

7、)·(x-b)，再由条件确定待定系数k。　　设H2(x)=f(a)+f[a，b](x-a)+k(x-a)(x-b)。于是所以注　由于二次多项式由H2(a)，f(b)，f′(a)三个条件所唯一确定，所以本题由各种方法所求得的解，实质上是相同的。例题分析二例6　已知函数y=f(x)的观察数据为　　试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn(x)，并计算f(－1)。　　解：先构造基函数　　所求三次多项式为：　　例7　已知函数y=f(x)的数据如表中第2，3列。计算它的各阶均差。　　解：依据均差计算公式，结果列表中。计算公式为：一阶

8、均差二阶均差………例8　设x0，x1，x2，…，xn是n+1个互异的插值节点，lk(x)(k=0，1，2，…，n)是拉格朗日插值基函数，证明：　　证明当f(x)=1时，   由于，故有.例9　已知数据表如下：用最小二乘法求拟合这组数据的曲线。　　分析　首先根据已知数据，在坐标平面上画出相应的点，然后再画出曲线的粗略图形。如图3．1。　　由图形确