菲欧几何与相对论

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1、数学科学学院刘婷07205015非欧几何在相对论中的应用摘要：相对论是物理学中一门非常深奥的学问，但这门学问中却蕴藏着非常重要的数学思想。非欧几何是相对论中一个非常重要的工具，可以说非欧几何的出现才使得广义相对论有所发展。非欧几何是与欧氏几何相对的又一门重要的数学分支，本文从广义、狭义和通常意义介绍了什么是非欧几何。随后，本文又论述了相对论的一些基本的理论，最后，通过一些简单的例子，介绍了非欧几何在相对论中的一些应用，以及非欧几何在相对论的发展中所起到的作用。关键字：非欧几何、相对论一、什么是非欧几何非欧几何学是一门庞大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所

2、谓广义的非欧几何泛指一切和欧几里得几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。 欧几里得的《几何原本》提出了五条公设：(1)从任一点到另外一点能作一条直线(简言之，即通过任意两点可作一条直线)；(2)任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；(3)以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；(4)凡直角皆相等；(5)若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点。长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。因此，一些数学

3、家提出，第五公设能不能不作为公设，而依靠前四个公设来证明？经过了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，终于在十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基用反证法的思想提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。通过细致深入的推理，他得出第五公设不能被证明的结论，并形成了像欧式几何一样是完善的、严密的几何学——罗氏几何。    罗氏几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代

4、替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧氏几何内容不同的新的几何命题。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧氏几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧氏几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。罗氏4数学科学学院刘婷07205015几何中的一些几何事实没有像欧氏几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧氏几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。   欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且

5、只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。如果在球面上，直线即是短线——大圆，球的两个大圆总是相交的。在这种几何里，“三角形内角和大于180度”，两点之间的最短距离即是两点的球面距离。二、相对论的基本理论相对论是关于时空

6、和引力的基本理论，主要由爱因斯坦创立，分为狭义相对论和广义相对论。相对论的基本假设是光速不变原理，相对性原理和等效原理。奠定了经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体，而相对论解决了高速运动问题。相对论极大的改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时的相对性”，“四维时空”“弯曲空间”等全新的概念。狭义相对论，是只限于讨论惯性系情况的相对论。狭义相对论认为空间和时间并不相互独立，而是一个统一的四维时空整体，并不存在绝对的空间和时间。在狭义相对论中，整个时空仍然是平直的、各向同性的和各点同性的，这是一种对应于“全局惯性系”的理想状况。狭义相对论将真空中光速为常数作为基本假设

7、，结合狭义相对性原理和上述时空的性质可以推出洛仑兹变换。狭义相对论的第一个基本原理：狭义相对性原理——惯性系之间完全等价，不可区分；第二个基本原理——光速不变原理。由于惯性系无法定义，爱因斯坦将相对性原理推广到非惯性系，提出了广义相对论的第一个原理：广义相对性原理——所有参考系在描述自然定律时都是等效的。在不同参考系中，一切物理定律完全等价，没有任何描述上的区别。但在一切参考系中，这是不可能的，只能说不同参考系可以同样有