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时间:2018-05-16
《计算机图形学 第五章 图形变换》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第五章图形变换 重点:掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。难点:理解常用的平移、比例、旋转变换,特别是复合变换。课时安排:授课4学时。 图形变换包括二维几何变换,二维观察变换,三维几何变换和三维观察变换。为了能使各种几何变换(平移、旋转、比例等)以相同的矩阵形式表示,从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换的组合,现都采用齐次坐标系来表示各种变换。 齐次坐标系 齐次坐标系:n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。例如二维空间直线ax+by+c=0,在齐次空间成为aX+bY+cW=0,以X、Y和W为三维变量,构成没有常数项的三
2、维平面(因此得名齐次空间)。点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,w)表示,其中W是不为零的比例系数。所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换是一到多的变换,而其反变换是多到一的变换。例如齐次空间点P(X、Y、W)对应的笛卡尔坐标是x=X/W和y=Y/W。将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时,W的值取1。 采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。 齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用,它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。 齐次坐标系:n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。
3、例如二维空间直线ax+by+c=0,在齐次空间成为aX+bY+cW=0,以X、Y和W为三维变量,构成没有常数项的三维平面(因此得名齐次空间)。点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,w)表示,其中W是不为零的比例系数。所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换是一到多的变换,而其反变换是多到一的变换。例如齐次空间点P(X、Y、W)对应的笛卡尔坐标是x=X/W和y=Y/W。将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时,W的值取1。 采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。 齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用,
4、它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。5.1二维几何变换 二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换,从而形成新的坐标。 二维几何变换主要包括:平移、比例、旋转、对称、错切、仿射和复合变换。5.1.1二维平移变换 如图所示,它使图形移动位置。新图p'的每一图元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生,所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Txy'=y+Ty可利用矩阵形式表示成:[x'y']=[xy]+[TxTy]简记为:P'=P+T,T=[TxTy]是平移变换矩阵(行向量)。 从矩阵形式来看,平移变换是矩阵加法,而比例和旋转变换则是矩
5、阵乘法。若这三种变换都能运用乘法来实现的话,我们就可以实现三种变换的任意组合。为了实现这个目的,一般采用齐次坐标系来表示这三种变换,齐次坐标系中的平移变换矩阵形式是5.1.2二维比例变换 如图所示,它改变显示图形的比例。新图形p'的每个图元点的坐标值是原图形p中每个图元点的坐标值分别乘以比例常数Sx和Sy,所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x·Sxy'=y·Sy可利用矩阵形式表示成: 简记成p'=P·S,其中是比例变换矩阵。在齐次坐标系中的比例变换矩阵形式是:5.1.3二维旋转变换 二维旋转变换:图形相对坐标原点的旋转如图所示,它产生图形位置和方向的变动。新图形p'的每
6、个图元点是原图形p每个图元点保持离坐标原点距离不变并绕原点旋转θ角产生的,并以逆时针方向旋转为正角度,对应图元点的坐标值满足关系式x'=xcosθ-ysinθy'=xsinθ+ycosθ用矩阵形式表示成简记为P'=P·R,其中是旋转变换矩阵。在齐次坐标系中的比例变换矩阵形式是5.1.4二维对称变换 二维对称变换(或称反射变换)是产生物体镜像的一种变换,该变换实际上是比例变换的几种特殊情况。 1、以y轴为对称线的对称变换 变换后,图形点集的x坐标值不变,但符号相反;y坐标值不变。矩阵表示形式为: 2、以x轴为对称线的对称变换 变换后,图形点集的x坐标值不变;y坐标值不变
7、,但符号相反。矩阵表示形式为: 3、以原点为对称的对称变换 变换后,图形点集的x和y坐标值不变,但符号相反。 矩阵表示形式为: 4、以直线y=x为对称线的对称变换 变换后,图形点集的x和y坐标对调。 矩阵表示形式为 5、以直线y=-x为对称线的对称变换 变换后,图形点集的x和y坐标对调,但符号相反。 矩阵表示形式为5.1.5二维错切变换 二维错切变换:是一种会使物体形状发生变化的变换。常用的错切变换有两种:改变x坐标值和改变y坐标值。
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