对草坪浇灌喷头布置方案的探究

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1、对草坪浇灌喷头布置方案的探究北京八中高一年级（9）班陈政道指导教师李双平摘要草坪是城市中必不可少的一部分，有净化大气、杀菌减噪、防止水土流失、改善小气候、保健等功效。但是中国面临水资源危机，需要节约用水，因此草坪的灌溉也要遵循节约的原则。草坪的灌溉需要合理规划，要选择优化的方案，既要节约用水，又不能使成本过高。于是，对浇水器喷头的选择以及布局就显得十分重要。目前，主要有两种草坪浇水器的喷头。一种是微喷头，另一种是摇臂喷头。这两种草坪节水器的喷头在喷射角度、喷射距离、价格等方面均有差别。以这两种喷头为基础进行组合，产生了几种为草坪浇灌的方案。因为正方形草坪较

2、为普遍，而且较容易分析，本文先从正方形草坪入手，对草坪及草坪浇水器的浇灌建立了数学模型，通过建立浇水面积与浇水半径的函数关系，分析了这两种对正方形草坪进行浇灌的方案的节水效果与成本，并对这两种方案的适用条件进行了分析。同样，本文对三角形草坪的三种由正方形浇水方案稍作改变产生的方案进行了节水效果方面的分析。之后将这三种方案推广到了边数大于4的正多边形草坪中，并比较了各方案的节水优劣性与适用范围。关键词：草坪浇灌节约用水优化设计一、模型建立对草坪浇灌的探究，首先以正方形草坪为例。因为正方形与长方形草坪较为普遍，而长方形和其他形状的草坪又可以划分为正方形草坪再进

3、行处理18/18，而且它处理起来较方便。目前，较为普遍的浇水器喷头有两种，一种为微喷头，半径较小，喷水范围为圆，另一种为摇臂喷头，半径较大，喷水范围是扇形，圆心角可调。针对这两种喷头，我设计了两种浇灌正方形草坪的方案：图1微喷头图2摇臂喷头方案一（如图3）此方案中，浇水器的喷头是微喷头，浇水器浇水范围为圆，半径可以根据需要增大或减小。但是由于喷头本身有一定大小且有成本，浇水器的个数不能过大，可以假设只使用5个喷头，中间浇水器的圆心在正方形中心，且与正方形的边相交，四周四个喷头为剩余部分浇水。为使浇水面积利用率最大，四周四个喷头与中间喷头浇水区域的外沿的交点

4、在正方形的边上。正方形草坪及喷头的大致位置如下图所示。18/18图3节水效果与总浇水面积负相关，因此，为比较两种方案的节水效果，需要得出此种方案中浇水面积与某些变量的函数关系式并求出其最小值。则对于方案一，问题转变为当中间圆的半径为多少时，上图中5个圆的面积总和最小，以及此时的总面积。方案二（如图4）在此方案中，使用的是摇臂喷头。摇臂喷头的特点是喷水射半径较大，而且转动喷水射的夹角可以调节。因此方案二采用如下设计（图4）。在方案二中，在正方形草坪上相对的两个顶点上使用两个摇臂喷头，两喷头的喷水范围的外沿相交于正方形草坪的边上。为了探究此方案中如何选取两喷头

5、的喷水半径最能够节约用水，需建立数学模型。之后，问题转变为下图中两扇形的半径各为多少时，两扇形的总面积最小。18/18图4二、模型求解方案一求解过程如下图5作OC垂直于AB，交AB于C，连接AB。设OB=，OC=则BC=AB=–BC=18/18易证BM=AB=（）则小圆面积==大圆面积=则5个圆的总面积=大圆面积+4小圆面积=设=则5个圆的总面积==因为在一个确定的正方形草坪中，为定值所以当时，5个圆的总面积有最小值此时=因为均大于>0所以所以当，时，5个圆的面积总和最小，为即当中心喷头的喷水半径为，四周喷头的喷水半径为时，总浇水面积最小，最小值为方案二求

6、解过程如下18/18图6连接AC，设圆c2的半径为，正方形的边长为则扇形c2的面积=扇形c1的半径=AC=则扇形c1的面积==所以两扇形面积之和=因为在一个确定的正方形中，边长一定所以当时，两扇形面积之和最小即一个扇形的半径为正方形边长的，另一个扇形的半径为正方形边长的时，两扇形面积之和最小，最小值为三、分析以上对所建立的模型的数学处理得出的结果是：对于方案一，18/18当中心喷水器的半径为正方形边长的，四周喷水器的半径为正方形边长的时，总浇水面积最小，即最节约用水。此时总浇水面积为。对于方案二，当一个摇臂喷头的喷水半径为正方形草坪半径的，另一个为时，总浇

7、水面积最小，为。因此从节水角度看，方案二略微优于方案一。但是，因为两类喷头的成本不同（见下表），摇臂喷头类的成本明显高于微喷头类的成本。方案一中使用的是五个微喷头（例如中心喷头为直径较大的1201旋转微喷头，四周喷头为喷射直径较小的离心式可调塑料微喷头，这种选取方式既能够较好地满足对喷头半径的要求，又尽量减少成本），方案二中使用的是两个摇臂喷头（例如两个锌合金B型摇臂草坪喷头），则方案一中喷头成本=方案二中喷头成本=可见，在这种选取方式中方案一的成本比方案二的成本低。而在其他选取方式中，方案一的喷头成本总比方案二的低，具体低的数额取决于两种方案具体各使用哪

8、种喷头，。　喷头名称　喷射直径价格微喷头　　　离心式可调塑料微喷头