doi10.6043j.issn.0438-0479.201702036

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1、doi:10.6043/j.issn.0438-0479.201702036基于压缩感知理论的BCH码译码姜恩华*，李素文，窦德召，赵庆平（淮北师范大学物理与电子信息学院，安徽淮北235000）摘要：借助无噪条件下的压缩感知理论，研究了BCH码的译码方法。采用校验矩阵H作为测量矩阵，伴随式S作为测量信号，建立了重构差错图案E的压缩感知模型，采用基追踪BP算法，重构了BCH码的差错图案E。以（15,11）BCH码为例，验证了重构的差错图案E是正确的。根据收码R和差错图案E计算出码字C估值。通过误码率和码字C估值成功率

2、，比较了基追踪BP算法和Berlekamp迭代译码算法的译码效果。以BCH短码和长码为例，进行仿真实验，验证了采用压缩感知理论和基追踪BP算法实现BCH码译码是可行和有效的。关键词：压缩感知；基追踪BP算法；BCH码；校验矩阵H；伴随式S中图分类号：TN911.7文献标识码：A近年来，压缩感知理论[1-3]在图像与信号处理领域得到广泛的应用，该理论突破了香农-奈奎斯特采样定理的限制，降低了采样信号的频率，其主要内容包括：信号的稀疏表示、测量矩阵的构造和重构算法。压缩感知采样是通过测量矩阵对稀疏信号进行观测，得到测量

3、信号；压缩感知恢复是把测量信号和测量矩阵代入重构算法重构出稀疏信号。在压缩感知理论中，信号精确恢复的条件是：测量矩阵与稀疏基不相关[4]，或者是感知矩阵满足有限等距性(restrictedisometryproperty,RIP)[5]。BCH码广泛应用在数字卫星电视、北斗导航电文纠错编码和光纤通信等领域。在BCH码的译码过程中，如何精确计算出差错图案E的估值是完成译码的核心问题。按照压缩感知理论，把差错图案E看作一维稀疏数字信号，伴随式S看作测量信号，校验矩阵H看作测量矩阵，计算差错图案E的估值问题，可以看作是压

4、缩感知的稀疏信号恢复过程。选择合适的重构算法，完成对差错图案E的重构。可以把伴随式S与重构的差错图案E代入矩阵方程，验证重构的差错图案E是否正确。文献[6,7]把压缩感知理论与信息论基本概念（例如：信道编码）作了对比；文献[8]采用信道编码方法构造压缩感知的测量矩阵；文献[9]采用压缩感知理论重构低密度奇偶校验码低密度奇偶校验码(lowdensityparitycheckcode，LDPC)码。本文采用压缩感知理论实现BCH码译码，通过误码率和码字C重构的成功率分析其译码效果。1压缩感知理论压缩感知理论观测模型分为

5、无噪声干扰条件下的观测模型和有噪声干扰条件下的观测模型[1,2]。本文借助无噪声干扰条件下的观测模型实现BCH码的差错图案E重构。在无噪声干扰条件下的观测模型中，稀疏信号恢复的条件取决于测量矩阵列向量之间的线性相关性，即测量矩阵稀疏度Spark。1.1无噪条件下压缩感知观测模型在压缩感知理论中，通过测量矩阵对稀疏信号进行观测，得到观测信号，如式（1）所示。通过传感矩阵和观测信号，求解稀疏信号，可以转化为求解范数最小化问题，如式（2）所示[1,10]。（1）（2）借助（2）式求解稀疏信号。（2）式是求解范数最小化问题

6、，可以通过线性规划算法（如基追踪BP算法）求解。1.2测量矩阵的稀疏度Spark测量矩阵列向量组线性相关的最小的列数称为测量矩阵的稀疏度Spark[10]，稀疏度Spark的取值区间为[2，M+1]，其中M为观测值的个数。（1）式有唯一稀疏解的条件如（3）式所示[11]。（3）1.3基追踪BP算法基追踪BP算法用来求解最小范数的优化问题，范数最小化属于凸优化问题[11]。求解该问题通常转化为线性规划问题求解，在基追踪BP算法中，一般通过调用MATLAB软件优化工具箱中的线性规划求解器求解，线性规划求解器采用原对偶内

7、点法实现[12-13]，其计算步骤如下：（1）BP算法中的参数及其初始化，主要包括：严格可行点x，随机满秩矩阵A，正定矩阵p，列向量q，残差误差和对偶间隙误差，初始化常数因子μ和当前迭代点λ，代理对偶间隙为，回溯参数为和。（2）重复如下步骤1）计算原残差：。2）计算代理对偶间隙，。3）确定时间t：。4）计算对偶残差：。5）计算中心残差：。6）判断代理对偶间隙是否小于对偶间隙误差，对偶残差的范数是否小于残差误差，若同时成立，则跳出，结束循环，执行步骤（3）。7）计算，，求得：和。8）计算回溯直线搜索的不超过1的最大的

8、正步长作为初始步长step，，其中row为的行数。9）通过判断是否成立，更新步长。10）计算下一个迭代点：。11）更新步长：，直到成立。（3）算法结束。2差错图案重构2.1差错图案重构的压缩感知模型由于BCH码属于线性分组码的范畴[14]，本文借助线性分组码的译码过程，推导出BCH码的差错图案E重构的压缩感知模型。首先根据收码计算伴随式，根据伴随式S计算出差