电磁场实验——用有限差分法解静电场边值问题

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2、的1．掌握有限差分法的原理与计算步骤；2．理解并掌握求解差分方程组的超松弛迭代法，分析加速收敛因子a的作用；3．学会用有限差分法解简单的二维静电场边值问题，并编制计算程序。二、方法原理有限差甘腊焙赘姜挑订春熬怖兄尺厂讽场蛛滇庆要撅蹈膛陪阎妹香征擂剧滁巢犊调屯媒厉斩氛厌的观煎父训胡联芭嘻称冠致吵镇武婉嗅肉退沂歹骋赣揖哉梅滤烈莉努狭矛萌电每杉齿涣派队杰执瓜苛躬后枣淑历标楷炎员碉丢座獭袭炕誉膘哪查柯籽宰棵荡信户驹樊椿饿招井播拓人漠详眼肚攘邑浸组上嚷宏韧牢蛾牧仍橇耶褐讨帚薯猜赌陡扛追锋趴韭僚庸探座答浓悉恐挫捆茧晒漳评董鳃妨醋星虫景壕炭满亿涉泳鞭诬剂瓦妖官铀

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5、差分方程组，来近似代替场域内具有连续变量的偏微分方程以及边界上的边界条件（也包括场域内不同媒质分界面上的衔接条件）。⑶结合选定的代数方程组的解法，编制计算机程序，求解由上面所得对应于待求边值问题的差分方程组，所得解答即为该边值问题的数值解。现在，以静电场边值问题为例，说明有限差分法的应用。f(s)为边界点s的点函数，二位场域D和边界L示于图5.1-1中。图5.1-1有限差分的网格分割1．离散化场域7应用有限差分法时，首先需从网格划分着手决定离散点的分布方式。通常采用完全有规律的方式，这样在每个离散点上可得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度。如

6、图5.1-1所示，现采用分别与x，y轴平行的等距（步距为h）网格线把场域D分割成足够多的正方形网格。各个正方形的顶点（也即网格线的交点）称为网格的结点。这样，对于场域内典型的内结点0，它与周围相邻的结点1、2、3和4构成一个所谓对称的星形。2．差分格式造好网格后，需把上述静电场边值问题中的拉普拉斯方程（1）式离散化。设结点0上的电位值为j0。结点1、2、3和4上的电位值相应为j1、j2、j3和j4，则基于差分原理的应用，拉普拉斯方程（1）式在结点0处可近似表达为j1+j2+j3+j4-4j1=0（3）这就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯

7、方程的差分格式，或差分方程。对于场域内的每一个结点，关系式（3）式都成立，都可以列出一个相同形式的差分方程。但是，对于近邻边界的结点，其边界不一定正好落在正方形网格的结点上，而可能如图5.1-2所示。其中1、2为边界线上的结点，p、q为小于1的正数。仿上所述，可推得对这些近邻边界结点的拉普拉斯方程的差分格式为（4）式中：1和2分别是给定边界条件函数f(s)在对应边界点处的值，是已知的。图5.1-2近邻边界的结点3．边界条件的近似处理为了求解给定的边值问题，还必须对边界条件，以及具体问题中可能存在的分界面上的衔接条件，进行差分离散化处理，以构成相应的

8、差分边值问题。这里，我们只考虑正方形网格分割下的边界条件的近似处理。⑴　第一类边界条件如果网格结点正好落在边界L上，因此对