数学建模课后习题答案

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1、方程及方程组的求解1、路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时（1）两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？（2）如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？（3）如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？XSP1P2R1α1α2QyxOR2h1h2解：根据题意，建立如图模型P1=2kwP2=3kwS=20m照度计算公式：（k为照度系数，可取为1；P为路灯的功率）（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在

2、Q点的照度分别为Q点的照度：要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点利用MATLAB求得时x的值代码：s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))');s1=vpa(s,8);s1运行结果：s1=19.976695819.3382991368.538304309-11.61579012*i.2848997038e-18.538304309+11.61579012*i因为x>=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表：x00

3、.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468综上，x=9.33m时，为最暗点；x=19.97m时，为最亮点。（2）路灯2的高度可以变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数：与（1）同理，求出函数I(x,h2）的极值即为最暗点和最亮点利用matlab求得x：solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')ans=20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h即x1=20

4、+2^(1/2)*h（舍去）x2=20-2^(1/2)*h利用matlab求解h2solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')ans=7.422392889676861255710450993296514.120774098526835657369742179215因为h在3~9之间，所以h2=7.42239m再利用matlab求解x和亮度I算法：h=7.42239;x=20-2^(1/2

5、)*hI=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))结果：x=9.5032I=0.0186综上，x=9.5032，h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为0.0186w。(3)两盏路灯的高度均可以变化时，I为关于x,h1,h2的三元函数，用同样的方法求解=利用matlab求解x，h1，h2的值：算法：solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');s1=vpa(s,6);a=(1/sqrt(2))*s1;a1=double(a);b=(1/sqrt(2))*(20-s1);b1=double(b);a1

6、,b1,s1结果：a1=6.59405.1883+12.0274i5.1883-12.0274ib1=7.54828.9538-12.0274i8.9538+12.0274is1=9.325307.33738+17.0093*i7.33738-17.0093*i综上，h1=6.5940，h2=7.5482，x=9.32530时，最暗点的亮度最大数据插值山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表3.8。平面区域为（1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。表3.8某山区高程表yx1200160020002400

7、28003200360040001200113012501280123010409005007001600132014501420140013007009008502000139015001500140090011001060950240015001200110013501450120011501010280015001200110015501600155013801070320015001550160015501600160016001550360014801500155015