巧用“等时圆”解物理问题

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1、巧用“等时圆”解物理问题一、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为，所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。二、等时圆模型（如图所示）图a图b三、等时圆规律1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（）自由落体的时间，即（式中R为圆的

2、半径。）结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。图1A四、应用等时圆模型解典型例题1、可直接观察出的“等时圆”【例1】如图1所示，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定图1图2解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。【例2】如图2所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同

3、一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1t2>t3C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图2’所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得：6①再由几何关系，细杆长度②图1xymgθ图2’设下滑时间为，则③由以上三式得，④可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。ABCDM图3【例3】如图3，位于竖直平面内

4、的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则：（）A、a球最先到达M点B、b球最先到达M点C、c球最先到达M点D、d球最先到达M点解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta==2，tb>ta；c做自由落体运动tc=；而d球滚下是一个单摆模型，摆长为

5、R，图4td==，所以C正确。【例4】圆O1和圆O2相切于点P，O1、O2的连线为一竖直线，如图4所示。过点P有两条光滑的轨道AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿AB、CD下滑，下滑时间分别为t1、t2，则t1、t2的关系是（）A.t1>t2B.t1=t2C.t1

6、：可以以O为圆心，以L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间，所以有OABLLD图5’6ABPHhO图6【例6】如图6所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离。解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。图6’ABPHhOO1如图6’所示，此时等时圆的

7、半径为：所以【例7】两光滑斜面的高度都为h，甲、乙两斜面的总长度都为l，只是乙斜面由两部分组成，如图7所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？图7图7’解析：构想一辅助圆如图7’所示：在AF上取一点O，使OA=OC，以O点为圆心，以OA为半径画圆，此圆交AD于E点。由“等时圆”可知，，由机械能守恒定律可知：，，所以。又因为两斜面的总长度相等，所以，根据得，，所以有，即乙球先到达斜面底端。图8【例8】如图8，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为

8、雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？图8’解析：如图8’所示，通过屋顶作垂线AC与水平线BD相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切。然后，画倾角不同的屋顶、、…从图4可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有是圆的弦，而