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1、考研线性代数知识框架图注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.注：19√关于：①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；②线性无关；③；④；⑤任意一个维向量都可以用线性表示.行列式的定义√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若都是方阵（不必同阶）,则③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.19④关于副对角线：⑤范德蒙德行列式：矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或伴随矩阵，为中各个元素的代数余子
2、式.√逆矩阵的求法:①注：②19③√方阵的幂的性质：√设的列向量为,的列向量为，则，为的解可由线性表示.同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.√用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的逆矩阵：19分块对角阵相乘：分块对角阵的伴随矩阵：√矩阵方程的解法()：设法化成√与同解（列向量个数相同）,则：①它们的极大无关组相对应,从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同
3、的内在线性关系.√矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.√判断是的基础解系的条件：①线性无关；②都是的解；③.19√一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.⑦向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性
4、表示.向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.⑧维列向量组线性相关；维列向量组线性无关.⑨.⑩若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.⑪矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵⑫矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初
5、等变换不改变矩阵的秩.19√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘；对施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘.矩阵的秩如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为.记作向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作矩阵等价经过有限次初等变换化为.记作：向量组等价和可以相互线性表示.记作：①矩阵与等价，可逆作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价矩阵与等价.②向量组可由向量组线性表示有解≤.③向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.向量组线性无关
6、,且可由线性表示,则≤.④向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；⑤任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.⑥向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.⑦若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.19①若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；若，的列向量线性无关,即：线性无关.√矩阵的秩的性质：①≥≤≤②③④≤≤≤⑤⑥≤⑦≤⑧⑨若且在矩阵乘法中有左消去律；若且在矩阵乘法中有右消去律.√初等矩阵的性质：1919注：线性方程组的矩阵式向量式19矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）19线性方程组解的
7、性质：√设为矩阵,若,一定有解，当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关.是的上限.标准正交基个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1..是单位向量.√内积的性质：①正定性：②对称性：③双线性：19的特征矩阵.的特征多项式.√是矩阵的特征多项式的特征方程.√，称为矩阵的迹.√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.√若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.√一定可分解为=、,从而的特征值为：,.√若的全部特征值，是多项式,则:①的全部特征值为；②若满足,则的任
